数学实验:求微分方程的解.ppt
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1、1,实验四,求微分方程的解,2,自牛顿发明微积分以来,微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程,绝大多数是微分方程。,由于实际应用的需要,人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限,绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。,本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程(组)的数值解,并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法Euler折线法。,问题背景和实验目的,3,考虑一维经典初值问题,基本思想:用差商代替微商,根据 Talyor 公式,y(x)在点 xk 处有,Euler 折线法,4,初值问题的Euler折线法,具体步骤:
2、,等距剖分:,步长:,分割求解区间,分割求解区间,差商代替微商,解代数方程,为分割点,5,Euler 折线法举例,例:用 Euler 法解初值问题,取步长 h=(2-0)/n=2/n,得差分方程,当 h=0.4,即 n=5 时,Matlab 源程序见 fuluA.m,解:,6,Euler 折线法源程序,clear;f=inline(y+2*x/y2,x,y);a=0;b=2;n=5;h=(b-a)/n;x=a:h:b;y(1)=1;for i=1:n y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i);endplot(x,y,rs-);,7,Euler折线法举例(续),解析解:,解析解,近似解
3、,y=1/3*(-18-54*x+45*exp(3*x)(1/3),8,Runge-Kutta 方法,为了减小误差,可采用以下方法:,让步长 h 取得更小一些;,改用具有较高精度的数值方法,如:,龙格-库塔方法,Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,是一类求解常微分方程的数值方法,有多种不同的迭代格式,9,Runge-Kutta 方法,用得较多的是 四阶R-K方法(教材第 98 页),其中,10,四阶 R-K 方法源程序,clearf=inline(y+2*x/y2,x,y);a=0;b=2;n=5;h=(b-a)/n;x=a:h:b;y(1)=1;for i=1:n L1=f(x(i),
4、y(i);L2=f(x(i)+h/2,y(i)+L1*h/2);L3=f(x(i)+h/2,y(i)+L2*h/2);L4=f(x(i)+h,y(i)+L3*h);y(i+1)=y(i)+h*(L1+2*L2+2*L3+L4)/6;endfprintf(y 在 x=2 点的近似值为%fn,y(n+1);plot(x,y,rs-);,11,Runge-Kutta 方法,12,Euler 法与 R-K法误差比较,13,Matlab 解初值问题函数,用 Maltab自带函数 解初值问题,求解析解:dsolve,求数值解:ode45、ode23、ode113、ode23t、ode15s、ode23s、
5、ode23tb,14,dsolve 求解析解,dsolve 的使用,y=dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v),其中 y 为输出的解,eq1、eq2、.为微分方程,cond1、cond2、.为初值条件,v 为自变量。,例 1:求微分方程 的通解,并验证。,y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x),syms x;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x2),15,dsolve 的使用,几点说明,如果省略初值条件,则表示求通解;,如果省略自变量,则默认自变量为 t,dsolve(Dy=2*x,x);%dy/dx=2xdsolve(Dy=2*x)
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