[课件]概率与统计6.2常用统计分布.ppt

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1、6.2 常用统计分布,上侧分位数u(0 1）满足,标准正态分布,一、四种常用统计分布,对于正态分布有：,上侧分位数u,阴影部分面积为,查表 如 0.025 时，u？,2.2(chi方)分布,a分位数例,由度为n 的2分布，记为,称随机变量X 服从自,例1 若XN(0,1)，则 Y=X2 的概率密度为,即Y=X2 服从 2(1)分布.,教案例3.4.5,例2 若X1，X2相互独立,X1N(0,1),X2N(0,1),则Y=X12+X22 有,即Y=X12+X22 2(2)分布.,统计量的分布(之一),定理6.2.1 设 X1，X2，Xn 相互独立且都服从标准正态分布，则,即随机变量 2 服从自由

2、度为 n 的卡方分布.,标准正态随机变量的独立平方和,2分布的三条性质：,性质1.(数字特征)设 2 2(n)，则有 E(2)=n，D(2)=2n,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,性质2(可加性)设Y1，Y2相互独立,且Y12(n1),Y12(n2)，则Y1+Y2 2(n1+n2).,证明 记,从而 Y1+Y2 2(n1+n2).,且Xi,i=1,2,n1+n2 相互独立，XiN(0,1),性质3.(大样本分位数)当n 足够大(如 n 45)时，有,证明,2(n)的上侧分位数(0 1)：,阴影部分面积为,3.自由度为 n的 t 分布Tt(n),又称学生氏分布-第一个研

3、究者以Student作笔名发表文章.,查表计算,即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.,定理6.2.2 设随机变量X,Y 相互独立,X N(0,1)，Y 2(n)，则,阴影部分面积为,t(n)的上侧分位数 t(n)(0 1)：,T 分布的特点：,1.关于纵轴对称：,例 查表计算：,t,-t=t1-,因=PTt=PT-t=1-PT-t,故 PTt=1.,即 t=-t1-,例 查表计算：,2.n 较大时，,4.F 分布 F F(n1,n2),称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布.,定理6.2.3 设随机变量X，Y 相互独立，X 2(n1)，Y 2(n2)，则,即随机变量

4、F 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2 的F分布.,例 统计量的分布(之二),F(n1,n2)的上侧分位数F(n1,n2)(0 1)：,阴影部分面积为,推论1,推论2,证,二、抽样分布定理,定理6.2.4,应用例,定理6.2.5,设正态总体 X 与 Y 相互独立，,X,样本为X1，X2，X n1,样本均值和样本方差为；,Y，样本为Y1，Y2，Y n2，样本均值和样本方差为.,有,分析,证明:(2),服从正态分布，Sw2可化为2分布,二者组合而成的统计量应服从 t 分布.,因，相互独立，故U 与 V也相互 独立，从而,总体、个体,简单随机样本,统计量,统计量的分布,正态总体的2个抽样定理,样

5、本均值样本方差样本矩（样本相关系数）,2分布t 分布 F分布,分位数,结构定理,例6.2.1 设随机变量X 服从正态分布N(0,1),对给定的(01)，数u满足，,则 x 等于,u是上侧分位数.,解,阴影部分面积为(1-)/2,面积为,#,例6.2.2 统计量的分布(之一),解,设 X1,X2,Xn 是来自正态总体 的容量为 n 的样本，求下列统计量的概率分布：,#,例6.2.3 查表计算概率,注意 应注意分布表的定义与查法！,#,解,例6.2.4 统计量的分布(之二),设 X1,X2,Xn+m是来自正态总体 的样本，求下列统计量的概率分布,由 t 分布结构定理，,#,3.因Zt(m),根据 t 分布结构定理，有,例6.2.5 设X1,X2,.,X9是来自正态总体X的随机样本，令,证明统计量Z 服从自由度为2 的t 分布.,证 记 D(X)=2(未知)，有,由于Y1,Y2相互独立,故,从而,由抽样分布定理知,因Y1和Y2相互独立,Y1和S2 相互独立,而且Y2和S2 相互独立，故Y1Y2 和S2 相互独立.,根据t 分布结构定理知,服从自由度为2 的 t 分布.,#,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,证 因,也相互独立同分布，,根据独立同分布中心极限定理有,近似成立，故,#,