微分方程及其应用的基础知识.ppt
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1、微分方程及其应用,6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法,6.2 一阶线性微分方程,6.3 二阶常系数线性微分方程,6.4 常微分在经济中应用,6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法,6.1.1 微分方程的基本概念1.微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。注:在微分方程中,如果未知函数是一元函数,则方程称为常 微分方程,简称微分方程。2.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.,一般地,n 阶微分方程的一般形式为:,3.微分方程的解、通解(1)若某函数代入微分方程后,能使该方程两端恒等,则这个函 数为该微分方程的解。如 y=x2+2是方程(1
2、)的解,显然 y=x2+C 也是方程(1)的解.(2)如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数,这样的解称为微分方程的通解.如 y=x2+C 是方程(1)的通解.,4微分方程的初始条件和特解(1)确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件;,一般地 一阶微分方程的初始条件为:二阶微分方程的初始条件为:,(2)由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解,称为微 分方程的特解。如 y=x2+2是方程(1)的特解.,中含有一个任意常数C,而所给方程又是一阶微分方程,,是所给方程的通解.,中含有两个任意常数,而所给方程又是二阶的,,6.1.2 分离变量法 1定义 形如,的方程称为可分离
3、变量的方程.,特点-等式右端可以分解成两个函数之积,其中一个只是x 的函数,另一个只是y的函数,2解法 设,当g(y)0时,两端积分得通解,注(1)当g(y)=0时,设其根为y=,则y=也是原方程的解;,解 分离变量,得 ydy=-xdx,说明:在解微分方程时,如果得到一个含对数的等式,为了利用对数的性质将结果进一步化简,可将任意常数写成klnC的形式,k的值可根据实际情况来确定,如例2中取k=1/2.,例5 设降落伞从跳伞台下落,所受空气阻力与速度成正比,降落伞 离开塔顶(t=0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k(负号表
4、示阻力与运动方向相反(k为常数)伞在下降过程中还受重力P=mg作用,,由牛顿第二定律得,于是所给问题归结为求解初值问题,由此可见,随着t的增大,速度趋于常数mg/k,但不会超过mg/k,这说明跳伞后,开始阶段是加速运动,以后逐渐趋于匀速运动.,6.2 一阶线性微分方程,6.2.1 一阶线性微分方程 1定义:形如,的方程,称为一阶线性微分方程,其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数,Q(x)称为自由项特点:方程中的未知函数y及导数,都是一次的,2分类若 Q(x)=0,即,称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0,则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程,3一阶线性齐次方程的解法,类型:可分离变量的微分
5、方程,其中 C 为任意常数.,4一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法,在方程(1)所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程(1)有如下形式的解:,其中 C(x)为待定函数,于是方程(1)的通解为:,(4)式称为一阶线性非齐次方程(1)的通解公式上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为:(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解;(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可;(3)将所设解带入非齐次线性方程,解出C(x),并写出非齐次线性 方程的通解,式对应的齐次方程为
6、,将方程分离变量得,两边积分得,即,所以齐次方程的通解为:,将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x),将其待入方程得,将C(x)代入式 得原方程的通解:,例3在串联电路中,设有电阻R,电感L和交流电动势E=E0sint,在时刻t=0时接通电路,求电流i与时间t的关系(E0,为常 数),解设任一时刻t的电流为i 我们知道,电流在电阻R上产生一个电压降uR=Ri,,由回路电压定律知道,闭合电路中电动势等于电压降之和,即,在电感L上产生的电压降是,式为一阶非齐次线性方程的标准形式,其中,利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解:,6.2.2 可降阶的高阶微分方程,特点:方程y(n)=f(x)的右端
7、仅含有自变量解法:将两端分别积分一次,得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次,得到n-2阶微分方程,连续积分n次,便可得到该 方程的通解,解 将所给方程连续积分三次,得,特点:方程右端不含未知函数y解法:令y=t,则y=t,于是原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程t=f(x,t),解 令y=t,则y=t,,代入原方程得,分离变量得,两边积分得,即,再积分得,例6 如图,位于坐标原点的我舰向位于x轴上B(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷,鱼雷始终对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶,又设鱼雷的速率为2v0,求鱼雷的航行曲线方程,解 设鱼雷的航行曲线方程为 y=y(x),在
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- 微分方程 及其 应用 基础知识

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