弹性力学、泛函、变分等基本知识.ppt

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1、2023/9/18,有限元法预备知识,1,2 有限元法预备知识,曹国华,2.1弹性力学基本知识2.2泛函基本知识2.3变分法基本知识2.4李兹法运用,2023/9/18,有限元法预备知识,2,2.1 弹性力学基本知识,位移,和,应变,和,应力,和,基本力学量：,2023/9/18,有限元法预备知识,3,外力,作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：面力，是分布于物体表面的力 如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。体力，是分布于物体体积内的外力 如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、

2、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,4,应力的概念,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,5,为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力x是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。,正应力,加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力xy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。,剪应力,应力的概念,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,6,应力的正负 如果某一个面上的外法线

3、是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。,剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。即：,应力的概念,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,7,可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应

4、力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,应力的概念,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,8,位 移,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负 这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/

5、18,有限元法预备知识,9,应 变,体素的变形(应变)可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的 角应变则加上相应的角码分别用 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。(正的 引起正的，等等)。,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,

6、有限元法预备知识,10,其中：X、Y、Z为三个方向的均匀分布体力,弹性力学基本方程,平衡方程（外力与应力的关系）,2.1 弹性力学基本知识,如何得到的？,2023/9/18,有限元法预备知识,11,以平面问题推导平衡微分方程 取出一块dxdy,厚度为一个单位长度的微元体，将其所受力画在其上。设单位体积上的体积力为,由力矩平衡方程，得,弹性力学基本方程,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,12,几何方程、刚体位移,A点在x方向的位移分量为u；B点在x方向的位移分量为：,ABCDABCD(应变分量和应变分量的关系)求线素AB、AD的正应变，用位移分量来表示：,线素AB的

7、正应变为：,同理，AD的正应变为：,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,13,线素AB的转角为：,A点在y方向的位移分量为v；B点在y方向的位移分量为：,几何方程、刚体位移,2.1 弹性力学基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,14,位移及应变、几何方程、刚体位移,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,同理，y向线素AD的转角,因此，剪应变为：,2023/9/18,有限元法预备知识,15,以上是考察了体素在xoy一个平面内的变形情况,同样方法来考察体素在xoz和yoz平面内的变形情况，可得：,联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间

8、的关系:,位移及应变、几何方程、刚体位移,2023/9/18,有限元法预备知识,16,可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵 来表示：,位移及应变、几何方程、刚体位移,2023/9/18,有限元法预备知识,17,刚体位移：由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的

9、物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，令：,有,积分得,为积分常数，即刚体位移。,式中，,位移及应变、几何方程、刚体位移,2023/9/18,有限元法预备知识,18,应力应变关系、物理方程,当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程,应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律,式中，E为弹性模量。弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为：,式中，为泊松比。上述两个方程可用于简单和压缩。,2023/9/18,有限元法预备知识,19,设图中的弹性体在各面上都受有均匀

10、分布的正应力，则合成应变的分量可用上两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。,应力应变关系、物理方程,2023/9/18,有限元法预备知识,20,如果弹性体的各面有剪应力作用，如图所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松比存在如下的关系：前面的正应变与上式中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；六个关系式写在一起，得

11、左式，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。,应力应变关系、物理方程,2023/9/18,有限元法预备知识,21,将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将上左式(改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式：,应力应变关系、物理方程,2023/9/18,有限元法预备知识,22,式(12)可用矩阵的形式表示如下：,上式可简写为由弹性体性质决定的物理方程：,应力应变关系、物理方程,弹性矩阵,2023/9/18,有限元法预备知识,23,完全决定于弹性常数E和,应力应变关系、物理方程,弹性矩阵,2023/9/18,有限元法预备知识

12、,24,总结-弹性力学基本方程（分量形式）,一、平衡方程,二、几何方程,三、本构关系(物理方程）,2023/9/18,有限元法预备知识,25,简单地说，泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。,说明泛函具体含义的一个实例：最速降线问题,若对于某一类函数y(x)中的每一函数y(x)，有一值与之对应，或数 对应于函数y(x)的关系成立。则称变量 是函数y(x)的泛函，即：=y(x),2.2 泛函基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,26,实例：在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A

13、滑到B需要一定的时间T。,假设A在坐标原点，故质点由A滑到B的速度为,则T为,实例：最速降线问题,T是随不同的曲线y(x)而改变的。所以T 是一个泛函。,2.2 泛函基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,27,泛函的基本点,（1）泛函有它的定义域。定义域是指满足一定的边界条件、初始条件和函数的连续程度的函数集。定义域内的函数称为可取函数或容许函数。y(x)亦称为泛函的宗量函数或者泛函变量。,（2）泛函y(x)与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。,2.2 泛函基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,28,变分法是在一组容许函数中选定一个

14、函数，使给定的泛函取驻值(研究求泛函极大（小）值的方法)。,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,29,对变分学发展有重大影响的其中一个历史命题：,最速降线问题：在A、B两端点固定的边界条件下，从A滑到B所需的时间最短。,通过质点滑过曲线所需时间的变分为零，即,求得最速降线。,John Bornouli 于1696年提出。,T=0,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,30,变分及其特性,泛函宗量变分,定义：对于泛函y(x)，y(x)是定义域中的任何元素，取y(x)-y0(x)称为y(x)在y0(x)上的变分，记作y=y(x)-y0(x),常用y

15、=y(x)-y0(x)作为泛函宗量y(x)的变分。,变分y和函数微分dy的区别：,变分y反映的是整个函数的改变函数微分dy反映的是同一函数y(x)因x取不同值而产生的差异。,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,31,实例：在xy平面内，假设在AB两定点连成的曲线上有一质点。此质点在重力的作用下，无摩擦地从A滑到B需要一定的时间T。,?,变分极值条件,变分及其特性,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,32,变分性质,变分极值条件,由于 的任意性,欧拉方程,变分及其特性,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,33,欧拉方程,变分及其特性,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,34,变分及其特性,2.3 变分法基本知识,2023/9/18,有限元法预备知识,35,李兹法-变分法的求解,（1）选取未知函数 u 的近似解；,注意：使 u 满足强制边界条件。,2.4李兹法运用,2023/9/18,有限元法预备知识,36,故上式成立时，必有：,将上式表示成矩阵形式，有：,李兹法-变分法的求解,2.4李兹法运用,2023/9/18,有限元法预备知识,37,其中：,得到与待定参数 a 的个数相等的方程组，由此可求得待定参数a。,里兹（Ritz）法,实例,李兹法-变分法的求解,2.4李兹法运用,