平面及其方程三版.ppt

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1、第四节 平面及其方程,点的轨迹.方程的概念平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角,一、点的轨迹.方程的概念,平面解析几何把平面曲线当作点的轨迹，在空间解析几何中，任何曲面或曲线都看作点的几何轨迹。,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,曲面方程的概念,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,例4 方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研

2、究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,二、平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,三、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形

3、.,类似地可讨论 情形.,下表给出几种平面的特殊情况：条件例子特点1 D=0 Ax+By+Cz=0 平面过原点2 A，B，C 中有一个为0 Ax+Cz+D=0 平面与y轴平行 Ax+Cz=0 平面过y轴 3 A，B，C 中有二个为0 Ax+D=0 平面平行于yoz坐标面 Ax=0 平面即为yoz坐标面,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,四、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,点到平面距离公式,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,五、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,