[课件]概率与统计2.3连续型随机变量.ppt

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1、23.9.18,2.3 连续型随机变量,一、概率密度函数,例子,定义 设随机变量X 的分布函数为F(x),若存在非负函数 f(x),对于任意实数 x,均有,称随机变量X 是连续型随机变量,称函数 f(x)为X 的概率密度函数.,射击试验,仪器寿命问题,23.9.18,注,(1)连续型随机变量X 的分布函数是连续函数.,即F(x)在x 处左连续，故F(x)在x 处连续.,证 由分布函数的性质可知，F(x)在x 处右连续，,对于Dx 0,23.9.18,（2）X 是连续型随机变量，则对任意实数x0 R，有,P X=x0=0,令Dx 0，由F(x)的连续性有,23.9.18,故 P X=x0=0.,

2、（3）P(f)=0,但是其逆不真.,概率密度函数的性质,若函数f(x)满足上述(1)和(2),则它必是某个随机变量的概率密度.,0 P X=x0=F(x)-F(x-Dx)0,概率曲线下总面积为1,23.9.18,23.9.18,(4)若f(x)在点x 处连续,则有,证明,性质的应用实例,概率密度判定,函数参数确定,概率的计算,23.9.18,二、均匀分布和指数分布,(1)均匀分布,设随机变量X 的概率密度函数为,称随机变量X 在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X U(a,b).,特点1 随机变量X 概率为1在(a,b)上取值；,23.9.18,特点2 随机变量X落在(a,b)的子区间的概率与

3、位置无关，仅与长度成正比.,23.9.18,应用(1)大量试验服从均匀分布;(2)是计算机摸拟的基础.,例如,参见例子,(2)指数分布,设随机变量X的概率密度函数为,称随机变量X 服从参数为 l 的指数分布.,(l 0),23.9.18,特点 指数分布具有无后效性.即有(P52例2.3.4）,P X t+s|X t=P X s,参见例子,三、正态分布(GAUSS 分布),设随机变量X 的概率密度函数为,23.9.18,其中m,s(s 0)是常数，则称随机变量X服从参数为 m，s2 的正态分布(或高斯分布)，记为X N(m,s2),特别当 m=0,s=1时,其概率密度为,j(x)=j(x;0,1

4、)=,称随机变量X 服从标准正态分布,即X N(0,1).,23.9.18,1.正态分布概率密度曲线的特征,即概率曲线下总面积为1.,(2)曲线关于直线 x=m 对称,即对任意实数x 有 j(m x;m,s2)=j(m+x;m,s2),曲线下直线两侧的面积各为1/2,而且,P m x X m=P m X m+x,23.9.18,1/2,1/2,23.9.18,P m x X m=P m X m+x,23.9.18,较小,较大,(3)曲线x=m 处取得最大值,固定m,s2 越大，曲线越趋于平坦.,23.9.18,2 正态分布概率的计算,若随机变量X N(m,s2)，其分布函数为,23.9.18,

5、若随机变量X 服从标准正态分布,其分布函数记为,F(x)=1F(x),查表,P289的附表2 标准正态分布表给出了x0的标准正态分布函数值.,（1）若随机变量X N(0,1)，则,P a X b=F(b)F(a),23.9.18,（2）若随机变量X N(m,s 2)，则,证明,F(x;m,s2)=,所以有,23.9.18,参见例子,正态分布概率计算,23.9.18,参见例子,分位数,电池可靠性估计,分位数 X N(0,1),若实数ua 使P X ua=a 则称ua为标准正态分布的对应于a 的上侧分位数.,23.9.18,例1 使用了t 小时的元件在以后的t 小时内损坏的概率等于lt+o(t),

6、其中l 0 为一常数,试写出该元件的寿命T 的分布函数.,解 由题意 当t 0 时,F(t)=P T t=0。,当t 0 时,设t 0，由题设条件有,P T t+t|T t=lt+o(t),因 F(t+Dt)=PT t+Dt=PT t+Pt T t+Dt,23.9.18,从而有 DF=F(t+Dt)F(t)=Pt T t+Dt,又因为 t t T t+Dt,23.9.18,DF=PT t PT t+Dt|T t=1 F(t)lDt+o(Dt),求解方程得分布函数,令 Dt 0时，得到关于函数F(t)的微分方程,23.9.18,是函数,的变上限积分.,#,23.9.18,例2 一个靶子是半径为2

7、米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离.,解：X 的分布函数为,X,23.9.18,f(x)的变上限积分为,0,x 0；,#,23.9.18,例3 设,证(1)j(x)0,x R 显然成立，,证明 j(x)是概率密度函数.,23.9.18,所以,#,23.9.18,例4 设随机变量X 的概率密度函数为,解 因,试确定常数k.,#,23.9.18,例5 已知随机变量X 的概率密度函数为,解,用Y 表示对进行X 三次独立重复观测中,事件 X 出现的次数,求P Y=2=?,所以 Y B(3,1/4),从而,#,23.9.18,例6 设随

8、机变量X U(0,5),求方程4 r2+4X r+X+2=0 有实根的概率 p.,解：p=P(4 X)2 44(X+2)0,=P X2(X+2)0=P(X 2)(X+1)0,#,=P(X 1 X 2),=P X 1+P X 2,=P 2 X 5,23.9.18,例7.某电子元件发生故障则不可修复，它的寿命X服从 参数为=1/2000的指数分布.它工作了1000小时后能再工作1000小时的概率为多少？,解,PX2000X 1000=PX 1000,=1PX1000=1F(1000),=11e1000/2000=e-1/2.,其中,#,23.9.18,例8 已知随机变量X N(m,s 2)，证明,

9、23.9.18,特别地，有,#,P|X-m|s=2F(1)-1=0.6826,P|X-m|2s=2F(2)-1=0.9544,P|X-m|3s=2F(3)-1=0.9974,表明X 以很大的概率密集在 x=m 的附近.,3原则,23.9.18,例9 设X N(10,22)，求a 使,P|X 10|a,解,#,23.9.18,例10 某种电池的寿命是X 小时,X N(300,352)，计算,(1)p1=P X 335=1 P X 335,解,=1 0.8413=0.1587,(1)电池寿命在335小时以上的概率p1?,(2)求允许时限x,使电池寿命在(300 x,300+x)内的概率不小于0.9.,23.9.18,(2)0.9 P 300 x X 300+x,x 57.75,#,