大一高等数学第一章函数.ppt
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1、广义地说,初等数学之外的数学都是高等数学.通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微积分学,概率论与数理统计,线性代数等。另外,我们这里也把微积分称为高等数学(B).,什么是高等数学?,微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.,初等数学研究的是常量,高等数学研究的是变量。高等数学有其固有的特点:高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点有了高度抽象和统一,我们才能深入地揭示其本质规律,才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中,无论是概念和表述,还是判断和推理,都要运用逻辑的规则,遵循思维的规律。,初等数
2、学与高等数学(广义)的区别,另外,人类社会的进步,与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代,电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽,现代数学正成为科技发展的强大动力,同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此,学好高等数学对我们来说相当重要。,所以说,数学也是一种思想方法,学习数学的过程就是思维训练的过程。,首先,理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质,才能真正地理解一个概念。,要想学好高等数学,至少要做到以下四点:,其次,掌握定理。定理是一个正确的命题,分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外,还要搞清它
3、的适用范围,做到有的放矢。,第三,在弄懂例题的基础上做适量的习题。要特别提醒的是,课本上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌握定理,要注意不同例题的特点和解法,在理解例题的基础上做适量的习题。做题时要善于总结-不仅总结方法,也要总结错误。这样,做完之后才会有所收获,才能举一反三。,第四,理清脉络。对所学的知识要有一个整体的把握,及时总结知识体系,这样不仅可以加深对知识的理解,还会对进一步的学习有所帮助。,微积分是近代数学发展的里程碑,微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一,一部微积分发展史,是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史,是人类理性思维的结晶。它给出的一整套科学方法,开创了科学的新纪
4、元,并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩,那就正是在这里。”,微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。函数是微积分研究的 对象,所以我们的讨论将从函数开始。,极限的思想是微积分的基础,,一步就是要理解到“极限”引入的必要性:,学习微积分学,首要的,极限思想贯穿整个微积分的始终,极限思想的把握关系到对微积分思想的确立,微积分理论的掌握和运用,以及数学思维的建立。,函数,第一章,第一节 函数的概念及其基本性质,第二节 初等函数,第三节 经济学中常见的函
5、数,若a属于集合A的元素,则称a属于A,记作;否则称a不属于A,记作(或)。,第一节 函数的概念及其基本性质,含有限元素的集合称为有限集,不含任何元素的集合称为空集;用表示空集。不是有限集也不是空集的集合称为无限集。,一.集合及其运算,集合:具有某种确定性质的对象的全体,简称集。集合的元素:组成集合的各个对象。,用大写的英文字母A、B、C表示集合,用小写的英文字母a、b、c表示集合的元素。,表示集合的方法:(1)列举法将集合的元素一一列举出来,写在一个花括号内;(2)描述法在花括号内指明集合元素所具有的性质。,一般,用N表示自然数集,用Z表示整数集,用Q表示有理数集,用R表示实数集,子集,设A
6、,B是两个集合,若A的每个元素都是B的元素,则称A是B的子集,记作A B(或B A),读作A包含于B包含(或B包含A).,若A B,且有元素aB,但a A,则说A是B的真子集.,规定:A.,相等,若A B,且B A,则称A与B相等,记作A=B.,并集,由属于A或属于B的所有元素组成的集合称为A与B的并集记作A B,即 AB=x|xA或xB,交集,由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集,记作AB,即AB=x|xA且xB,差集,由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集,记作AB 即,(1)AB=B A,AB=BA;(交换律)(2)(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC);(结
7、合律)(3)(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC),(A-B)C=(AC)-(BC);(分配律)(4),集合运算的基本规律:,二.区间与邻域,设a和b都是实数,将满足不等式axb的所有实数组成的数集称为开区间,记作(a,b)即(a,b)=x|axb,a和b称为开区间(a,b)的端点,这里a(a,b)且b(a,b).,数集 a,b=x|axb为闭区间,a和b也称为闭区间a,b的端点,aa,b且ba,b.,数集a,b)=x|axb和(a,b=x|axb为半开半闭间.,以上这些区间都称为有限区间,数b-a称为区间长度.,无限区间,三.映射定义,定义 设A和B是两个非空集合,若存在
8、一个确定的规则f,使,数集D叫做这个函数的定义域,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,要使数学式子有意义,x必须满足,因此函数的定义域为(1,2,例1,解,例2,解,故,函数的图形:,例1 设函数,求f-1(x+1).,令 u=x+l 则,解,例2 求下列函数的反函 数 f(x)=,当-1x0时,由y=,得 x=,当 时,由y=x2+1得x=,交换x,y的位置,得反函数,,y1,于是,有,解,定义:,七.复合函数,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例 设f(x),,,(x),求复合函数f(,(x)和,(
9、f(x),f(,(x),(f(x),解,五.函数的基本性质,1.单调性,定义3 设函数f(x)的定义域为D,区间I D,对于任意的x1,x2I,且 x1 f(x2),则称f在D内是单调减少的;(3)若有f(x1)f(x2),则称f在D内是不减的;(4)若有f(x1)f(x2),则称f在D内是不增的.函数的单调增加和单调减少统称为单调,区间I称为f的单调区间.,注:I可以是开区间或闭区间,也可以是半开半闭区间.,2.奇偶性,奇函数的图形关于原点对称,而偶函数的图形关于y轴对称,定义4 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD,则-xD),对于任意的xD,(1)若有f(-x)=-f(x),则
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