多元回归模型：估计与假设检验.ppt

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1、本章主要内容,4.1 二元线性回归模型：总体回归函数4.2 多元线性回归的若干假定4.3 多元回归参数的估计4.4 多元回归的拟合优度：判定系数4.7 参数的显著性检验t 检验4.8 模型的显著性检验F 检验4.9 设定误差4.10 校正的判定系数4.11 何时增加新变量？,4.1 二元线性回归模型：总体回归函数,非随机形式：,随机形式：,其中，B1是截距，B2、B3称为偏回归系数。B2 度量了在X3保持不变的情况下，X2变化1单位引起Y的平均变化量；B3 度量了在X2保持不变的情况下，X3变化1单位引起Y的平均变化量。,例如，,当X3保持不变时，X2每增加1单位，Y将平均地增加0.4单位；当

2、X2保持不变时，X3每增加1单位，Y将平均地减少5单位。,4.1 二元线性回归模型：总体回归函数,也就是说，在多元回归中，偏回归系数反映了当模型中其他解释变量保持不变时，某个解释变量对被解释变量的条件均值的影响。多元回归不但引入了多个解释变量，而且能够分离出每个解释变量对被解释变量的影响。,4.1 二元线性回归模型：总体回归函数,1.回归模型是参数线性的，并且是正确设定的；2.随机误差项的条件均值为零；3.随机误差项的方差是常数（同方差）；4.所有解释变量都与随机误差项不相关；5.随机误差项不存在自相关。,4.2 多元线性回归的若干假定,进一步,以上这些假定全部与第三章提到的一元回归模型的假定

3、完全相同。,不同的是，多元回归有多个解释变量X，因而就多了以下这条对解释变量之间关系的假定：6.解释变量之间不存在完全共线性，就是说，解释变量之间不存在严格的线性关系。,4.2 多元线性回归的若干假定,如果X2与X3存在完全共线性，就无法估计偏回归系数B2、B3的值。换句话说，不能估计解释变量X2、X3各自对Y的影响，因为此时X2和X3不是两个独立的变量。实践中很难遇到完全共线性，但近似完全共线性的情况十分常见。如何处理这个问题，将在第八章多重共线性详细讨论。,4.2 多元线性回归的若干假定,4.3 多元回归参数的估计,样本回归函数：,与一元回归一样，采用普通最小二乘法(OLS)去估计B1、B

4、2、B3，从而得到它们的OLS估计量b1、b2、b3的值。即最小化残差平方和 通过求导，可以算出b1、b2、b3分别为：,特征1 b2和b3表达式的分母相同。特征2 b2和b3表达式是对称的，即x2，x3互换也可得到相应的表达式。,4.3 多元回归参数的估计,继而推导出各估计量的方差和标准差：,其中，随机误差项的方差 未知，因而采用其残差项的方差,自由度=样本容量n-系数个数3,4.3 多元回归参数的估计,多元回归OLS估计量的性质：与一元回归一样，在古典线性回归模型的基本假定下，多元回归OLS估计量也是最优线性无偏估计量（BLUE）,4.3 多元回归参数的估计,从以上这些讨论中不难发现，二元

5、回归模型在许多方面是一元回归模型的直接推广，只不过估计公式略显复杂。当推广到三元回归、四元回归，那么计算公式将更加复杂。在这种情况下，必须使用矩阵代数，以简化各自表达式。本课程不会涉及矩阵代数。,4.3 多元回归参数的估计,4.4 估计多元回归的拟合优度：判定系数,与一元回归一样，多元回归的判定系数依然为：,其中，ESS为解释平方和，RSS为残差平方和，TSS为总体平方和（变异）。判定系数R2度量了多元回归模型对Y变异的解释比例。也就是各解释变量X对被解释变量Y变异的联合解释比例。,一个例子:古董钟的拍卖价格,Y：拍卖价格；X2：钟表年代；X3：竞标人数,回归结果的解释：其他变量不变，钟表年代

6、每增加1年，价格平均上升12.74马克；其他变量不变，竞标人数每增加1人，价格平均上升85.76马克；负的截距没有实际意义；判定系数R2相当高，约为0.89，说明两个变量联合解释了拍卖价格89%的变异。,样本数据见课本38页表2-14,EVIEWS输出结果见课本97页附录4A.4,与一元回归模型一样，多元回归模型也可以对每个参数分别进行显著性检验（单边或双边）。当t大于5%显著水平所对应的临界值Z时，则拒绝H0，小于则不拒绝。当然，也可以在EVIEWS输出结果里直接读取相应的p值，p值小于5%则拒绝H0，大于则不拒绝。,4.7 参数的显著性检验t 检验,4.7 参数的显著性检验t 检验,4.8

7、 模型的显著性检验F 检验,与古典线性回归模型有关的一些检验：统计检验：利用统计原理对参数和模型的可靠性进行检验（拟合优度检验、参数的显著性检验、模型的显著性检验等）计量经济学检验：计量经济学所特有的检验方法（多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）,与参数的显著性检验不同，模型的显著性检验的原假设H0是一个联合假设：,即，所有偏回归系数同时为0（而不是单独为0）这个假设表示所有的解释变量对被解释变量没有影响，等同于：,4.8 模型的显著性检验F 检验,F分布,详见357页附录C.4；F分布表,详见388页表E-3,F 统计量：,方差分析ANOVA,F统计量服从分子自由度为k-1、分母自由度

8、为n-k的F分布,n：样本容量；k：系数B的个数,4.8 模型的显著性检验F 检验,F 分布,n：分子自由度m：分母自由度,检验结果：如果F值大于显著水平的所对应的临界值 则拒绝 小于则不拒绝。也可以直接读取p值，若p小于，则拒绝H0 大于则不拒绝。,F分布,详见357页附录C.4；F分布表,详见388页表E-3,4.8 模型的显著性检验F 检验,EViews 回归结果,4.9 设定误差,从回归结果中可以看出，X2和X3无论是单独地、还是联合地都对拍卖价格有重要影响。如果从模型中删除其中任何一个变量，都会导致模型的设定误差。第7章模型选择将详细讨论模型的设定误差。,注：查F分布表可知，当分子自

9、由度为2、分母自由度为29时，5%显著水平的F临界值约为3.32,Y：拍卖价格；X2：钟表年代；X3：竞标人数,区别：这3个回归方程的截距都不同；一元回归的斜率系数与二元回归的斜率系数不同；二元回归的R2明显大于2个一元回归的R2,4.9 设定误差,Y：拍卖价格；X2：钟表年代；X3：竞标人数,由于自由度的原因，当增加回归模型的解释变量个数，判定系数R2就会越大。因此，如果两个回归模型的解释变量个数不同，直接比较它们的判定系数R2就如同拿苹果和橘子比。那么，为了判断各个多元回归模型拟合优度的大小，就需要一根“统一的标尺”：校正的判定系数（adjusted R-squared）,4.10 校正的判定系数,性质：如果,则 随着解释变量个数的增加，校正的判定系数越来越小于未校正的判定系数，这是对增加解释变量的“惩罚”。虽然未校正的判定系数总为正，但校正的判定系数 可能为负。,推导过程见课本97页附录4A.3,4.10 校正的判定系数,EViews 回归结果,4.11 何时增加新变量？,在同时满足以下三个条件时，就可以增加新变量：1.校正的判定系数变大（拟合优度检验）；2.各个参数分别显著（参数显著性检验）；3.各个参数联合显著（模型显著性检验）。,Thank you!,