6波函数薛定谔方程一维无限深势阱.ppt

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1、仙女座,波恩,一、物质波波函数,微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。,波函数记作(x,y,z,t)，常用复数形式来表示!,例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：,也可用复数形式来表示：,例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：,也可用复数形式来表示：,(x):该波动方程的定态波函 数，不含时间变量。,(x):该波动方程的定态波函 数，不含时间变量。,如何构造物质波波函数(x,y,z,t),机械波强度：I A2（A为其在该处的振幅）。,用复数形式表示。则其振幅为|(x,y,z,t)|。,概率密度w|(x,y,z,t)|2,如何构造

2、物质波波函数(x,y,z,t),机械波强度：I A2（A为其在该处的振幅）。,用复数形式表示。则其振幅为|(x,y,z,t)|。,仿此关系，物质波的强度|(x,y,z,t)|2，物质波的强度称作粒子在空间某点(x,y,z)处出现的概率密度，记作w(x,y,z,t):,粒子在 dv 空间出现的概率：dG=|(x,y,z,t)|2dv,若粒子只出现在一维空间，则其在 xx+dx 空间出现的概率为：,dG=wdx=|(x,t)|2dx,若粒子只出现在一维空间，则其在 xx+dx 空间出现的概率为：,玻恩(M.Born，1882-1970)德国物理学家，1926 年提出波函数的统计意义，为此与博特(W

3、.W.G Bothe，1891-1957)共享1954年诺贝尔物理学奖。,dG=wdx=|(x,t)|2dx,若粒子只出现在一维空间，则其在 xx+dx 空间出现的概率为：,粒子在全空间出现的概率为1，即：,对于一维：,（归一化条件）,(x,y,z,t)必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。,dG=wdx=|(x,t)|2dx,对于一维：,(x,y,z,t)必须满足单值、连续、有限条件（标准 条件）。,例 构造一维自由粒子的物质波波函数(x,t)。,一维自由粒子：不受任何外力作用、沿+x方向运动 的实物粒子。,设：一平面简谐波沿+x方向传播，其波函数：,复数形式：,复数形式：,仿照上式，

4、缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：,而,上式可写成：,仿照上式，缔合在一维自由粒子上的物质波波函数：,而,上式可写成：,二、薛定谔方程(v c),对自由粒子：其定态波函数为,，则：,上式可应用到非自由粒子情形。,二、薛定谔方程(v c),对自由粒子：其定态波函数为,，则：,上式可应用到非自由粒子情形。,能量：,动量：,对非自由粒子,对非自由粒子,能量：,动量：,即：对非自由粒子,称为一维定态薛定谔方程。,三维定态薛定谔方程：,即：对非自由粒子,称为一维定态薛定谔方程。,三维定态薛定谔方程：,其中，称为拉普拉斯算符。,薛定谔(Erwin Schrdinger，1887-1961)奥 地利著名理

5、论 物理学家，量子力学的重要奠基人，同时在固体比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。1933年与物理学家狄拉克共同荣获诺贝尔物理学奖。薛定谔还是现代分子生物学的奠基人。,三、一维无限深势阱,设：一粒子被约束在(o,a)一维空间，其势能函数为,根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足,根据定态薛定谔方程，势阱中粒子的概率波满足,根据边界条件：,由于粒子肯定出现在(o,a)之间，A、B不能同时为零:,根据边界条件：,由于粒子肯定出现在(o,a)之间，A、B不能同时为零:,上式表明：势阱中的粒子的能量是量子化的，只能 取一组分立值。能量量子化是物质波粒 二象性的自然结果。

6、,(n=1,2,3,称为量子数),粒子波函数为：,上式表明：势阱中的粒子的能量是量子化的，只能 取一组分立值。能量量子化是物质波粒 二象性的自然结果。,(n=1,2,3,称为量子数),粒子波函数为：,由归一化条件,由归一化条件,粒子在势阱中的概率密度 wn 为:,粒子在势阱中的概率密度 wn 为:,极大值：,波函数的驻波特点,处，波函数的值皆为零。波函数以驻波形式存在势阱中：,处，波函数的值皆为零。波函数以驻波形式存在势阱中：,波函数的驻波特点,势阱中粒子能量的量子化从其驻波特点中也可自然地得出。,*四、对应原理,经典物理的规律与量子物理的规律似乎无共同之处，但在忽略量子效应时，两者应该趋于一致。,例如，在一维势阱中的粒子，两相邻能级的差为,能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物理在量子数n时的极限。,*五、一维方势垒 隧道效应,设想一维方势垒如图。一粒子处于 x 0 的区域内，其能量小于势垒高度Ep0。,经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x0 的区域。,量子物理：粒子波函数分布如图，粒子能越过势垒到达 x0 的区域。,称作隧道效应,