4.2随机变量的方差.ppt
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1、1.概念的引入,实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000时.,4.2 随机变量的方差,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,为此需要引进另一个数字特征,刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征,其中最重要的是方差。,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,2.方差的定义,D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度,数,(1)方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散程度的量.如果 D(X)值大,表示 X 取值分散程度大,E(X
2、)的代表性差;而如果 D(X)值小,则表示X 的取值比较集中,以 E(X)作为随机变量的代表性好.,3.注释,(2)对任意的随机变量D(X)不一定存在,例如(Cauchy分布),因为E(X)不存在,所以D(X)不存在。,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,4.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,例甲、乙两射手的例中,,例随机变量X的概率密度为 求E(X),D(X)。,例 设r.v X服从几何分布,概率函数为,P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,,n,其中0p1,求D(X),解:,记 q=1-p,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),5.方
3、差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)设C是常数,则D(C)=0;(2)设X是随机变量,a是常数,则D(aX)=a2D(X),从而 D(aX+b)=a2D(X);(3)设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(XY)=D(X)+D(Y);证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y),由于X,Y相互独立,XE(X)与YE(Y)也相互独立,由数学期望的性质,2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任
4、意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。,则,若X,Y 相互独立,(4)对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当 C=E(X)时等号成立,(5)D(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X 依概率 1 等于常数 E(X),例若随机变量X1,X2,Xn相互独立,E(Xi)=m,D(Xi)=2,其中i=1,2,n.求 X=的数学期望和方差。,解.由数学期望和方差的性质,可以得到:,例若X,Y为相互独立的连续型随机变量,联合概率密度为f(x,y),则,6几种重要随机变量的数学期望和方差(1)设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为PX=0=1-p,PX=1=p,则D(X)=p(1-p)。证:E
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