4.2概率论与数理统计(复旦大学出版社)南京财经大学朱玲妹老师的课件.ppt

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1、2 方 差,返回目录,例1 某人有一笔资金投入两个项目.通过调查该人认为如购置房地产的收益X(万元),开商店的收益Y(万元),它们的分布律分别为,问该人如何投资为好?,定义 X 是一个随机变量,若E X-E(X)2存在,称E X-E(X)2 为X的方差,记为D(X)或Var(X).,随机变量X 的期望E(X)存在,称X-E(X)为X的离差.,为X的标准差或均方差.,方差的计算公式,证明:,例1 01 分布,X 的分布律,例2 X 服从参数为的泊松分布,求,例3 X U(a,b),求D(X),X 的密度函数,例4 随机变量 X 服从指数分布,其概率密度为：,求:E(X),D(X),1.C 是常数

2、,2.C 是常数,X 是随机变量,1*D(X)0,是一个正数;,2*D(X)较大,随机变量X 的可能取值分散在E(X)的附近;,D(X)较小,随机变量X 的可能取值密集在E(X)的附近.,方差的简单性质:,3.X,Y 是任意两个随机变量，,证：,X 与Y 相互独立,证:X 与Y 相互独立,存在常数 C，,推广:X1,X2,Xn相互独立,例5 求,X1,X2,Xn相互独立,Xi:第i 次贝努里试验中A出现的次数,Xi 服从0-1分布,例6 标准化随机变量,为 X 的标准化随机变量,例7 求,解:令,X1,X2,Xn相互独立,a1,an不全为零,例8 活塞的直径(cm)气缸的直径(cm)X,Y 相

3、互独立,任取一个活塞,求活塞能装入气缸的概率.,解:,切比雪夫不等式,定理 随机变量X,设 E(X)=和D(X)=2都存在,证明:设离散型随机变量X(连续型类似证明),X 的分布律为,2*不等式描述了离差与方差之间的关系,方差的概率意义是刻画了随机变量取值的分散程度.,D(X)越小,X 的取值越集中在E(X)的附近.,4*不等式只用E(X),D(X)来描述 X 的变化规律,在理论研究和实际应用中都有价值.,1*等价形式,3*随机变量X 的分布未知,可估计事件 的概率;,例 星期六上午到小客车陈列室的顾客人数 X 是一个随机变量,其分布未知,但知 E(X)=18(人),标准差=2.5(人),试问

4、X 在 8 到 28 之间的概率是多少?,存在常数 C，,表明:在方差为零的情况下,除去一个零概率事件外,X 是仅取一个值的随机变量.,思考题：,1.设X 是一个随机变量，,则对任意常数 c,必有（）,思考题答案：,1.,2.X：100次独立试验中成功的次数.,练习题：,2.随机变量服从二项分布b(n,p),则有(),3.设随机变量 服从参数为 的泊松分布,则=（）,4.设随机变量X 的密度函数，,则(),(1)1(2)6(3)4(4)9,5.设两个相互独立的随机变量 X与Y 的方差分别为 4和 2,则随机变量3X-2Y 的方差是(),(1)8(2)16(3)28(4)44,7.已知离散型随机

5、变量X 的分布函数为,9.随机变量X 在区间(-1,2)上服从均匀分布，,则方差D(Y)=,随机变量,11.离散型随机变量 X 的分布律为：,求 D(X),12.设随机变量的密度函数,14.某进出口公司出口一批服装,如果不如期交货,外商要按一定的比例扣款,已知每周出口这批服装订货10批,如期交货的概率为80%,假定每批订货相互独立,问,(1)每周平均有几批如期交货?标准差是多少?,(2)每年52周中平均有几周被扣款?标准差是多少?,15.设某人每月收入服从指数分布,月平均收入为500元,按规定月收入超过800元后交个人所得税,问此人每年平均有几个月交个人所得税？,16.设 X 服从参数为 p

6、的几何分布,分布律：,证明:,17.设随机变量 X,Y 都服从,且相互独立,而,写出(X,Y)的联合密度函数，并求,18.两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为1/5的指数分布,首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度 f(t),数学期望和方差.,19.已知随机变量 X 的密度函数 在区间0,1之外恒为零,在0,1上与 成正比,随机变量 且 X 与Y 相互独立.试求 X 与 Y 的联合密度函数 及,练习题答案：,1.(2)；2.(2);3.(1);4.(4);5.(4);6.(4);,7.0.5,2.05；8.32;9.8/9;10.2,2;,12.1，2/3；,14.X:每周如期交货的批次,每周被扣款的概率:,Y:52周中出现扣款的周数,15.Y:某人的月收入,X:一年交所得税的次数,18.解：设X,Y 分别表示先后开动的记录仪无故障工作的时间.,X,Y 相互独立.,X,Y 的概率密度都为,