35曲面的主方向和曲率线曲面上一点P的两个方向,如果它.ppt
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1、3.5曲面的主方向和曲率线曲面上一点P的两个方向,如果它们既正交又共轭,则称为曲面在P点的主方向.,由方程组有非零解得主方向满足关系式,设 是P点的主方向,则有,即,曲面上曲率线的微分方程,曲率线:曲面上曲线C每一点的切方向是主方向,则称C是曲面的曲率线,如果曲面在某一点处有 这种点称为曲面的脐点.,我们把 L,M,N 不同时为零的脐点称为圆点.容易证明球面上的每一点都是圆点.L=M=N=0的点是平点,主方向的判别定理(罗德里格(Rodrigues)定理)如果方向 是主方向,则 其中 是曲面沿方向 的法曲率.反之,如果对于方向 有 则,证明:设说明将等式两边点乘并且注意(共轭性)以及(正交性)
2、,得到因此 由此再把等式两边点乘由此得,再证定理的后半部分:设方向满足现在只要证明它是主方向假设方向 垂直等式这表示方向因此不仅正交,而且共轭,所以它们都是主方向命题曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是证明:,3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率。由于主方向即曲率线方向,所以主曲率也即沿曲率线方向的法曲率。,取坐标网为曲率线网,这时沿方向 的法曲率为,沿u线v线的主曲率分别为,设方向d与与第一主方向(u线 v=0)的夹角为,欧拉公式:曲面一点处沿方向的法曲率,与该点处的两个主曲率有以下关系,定理 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方
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