3.2随机变量的独立性.ppt

《3.2随机变量的独立性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.2随机变量的独立性.ppt（23页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、Sep-23,3.2 随机变量的独立性,一、二维随机变量的独立性,定义 设(X,Y)是二维随机变量,若对任意实数对(x,y)均有,随机事件A 与B 相互独立，若,P(AB)=P(A)P(B),成立，称X与Y相互独立.,Sep-23,意义 对任意实数对(x,y)，随机事件 X x、Y y 都相互独立.,例3.2.1,等价条件:,1.X与Y相互独立,对任意实数(x,y)均成立.,2.(离散型)X与Y 相互独立,Sep-23,对所有(xi,yj)均成立.,注 若否定结论,只需找到一对(i,j)使,pij pi pj,或 pij=pi pj,3.(连续型)X与Y相互独立,在平面上除去“面积”为0 的集

2、合外成立.,例3.2.2,例3.2.3,例3.2.4,练习,Sep-23,二.多维随机变量的独立性,定义 设 n 维随机变量（X1,X2,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,xn)，若对任意实数x1,x2,xn 均有,称X1,X2,Xn 相互独立.,注 对任意实数向量(x1,x2,xn),n个随机事件 Ak=Xk xk,k=1,2,n，都相互独立.,Sep-23,思考 随机事件A1，A2，An 相互独立，应有以下,P(Ai1 Ai2Ais）=P(Ai1)P(Ai2)P(Ais）,2n-n-1个等式同时成立，缺一不可.如何理解？,Sep-23,定理3.2.1 若n维随机变量（X1,X2,，X

3、n)相互独立，则任意k个随机变量(2 k n)也相互独立.,注 随机变量相互独立则一定两两独立，但逆不真.,例3.2.5,定理3.2.1 若n维随机变量（X1,X2,，Xn)相互独立，则,2).随机变量 g1(X1),g2(X2),gn(Xn)也相互独立.,Sep-23,3)m维随机向量(X1,X2,Xm)与n-m维随机向量(Xm+1,Xm+2,Xn)也相互独立.,4)随机变量 h(X1,X2,Xm)与g(Xm+1,Xm+2,Xn)也相互独立.,如 3维随机变量X1,X2,X3 相互独立，则,X12,X22,X32 也相互独立.,X1+X2与X3也相互独立.,sinX1 与X3也相互独立.,S

4、ep-23,X1+X2与X1 X2 不一定相互独立.,随机变量的独立性本质上是随机事件的独立性,Sep-23,例3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为,问 X 与X是否相互独立.,分析 1)直观判断X 与X是否相互独立？,对所有实数对(a,b)均成立.,2)判定X 与X相互独立，则需验证,Sep-23,3)随机事件 Xa 与X a 有下述关系,解 对于任意给定的实数 a 0 有,Sep-23,即 X 与X 不相互独立.,Sep-23,例3.2.3 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为,问 X,Y 是否相互独立？,解,1,Sep-23,Sep-23,例3.2.4 设随机变量 X,Y 相互独立

5、,XU(0,a),Y U(0,/2)且 0 b a 试求 P X b cosY,解,因为随机变量 X,Y 相互独立，则,Sep-23,Sep-23,练习 设随机变量 X 与 Y 相互独立,填出空白处的数值.,3/4,1/4,1/2,1/24,3/8,Sep-23,例3.2.2 设随机变量(X,Y)具有联合概率密度,问:X、Y 是否相互独立？,分析 f(x,y)在如图所示区域内不等于 0,在其余区域均等于 0。,Sep-23,因为,当 x0 或 x1时,在整个积分路径上被积函数 f(x,y)始终为 0;因此,当 0 x 1 时,Sep-23,类似地,当y0 或 y1时,当 0 y 1 时,Sep-23,于是,故当 0 x 1 且 0 y x 时,f(x,y)=2fx(x)fy(y)=4x(1-y),因此,X 与 Y 不相互独立.,找出了一个面积不为0的区域,Sep-23,例3.2.6 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引进随机事件如下,令,Sep-23,有,Sep-23,但因,即1、2、3不相互独立.,即1与 2相互独立，同理可验证1与 3，2与 3也分别相互独立.,