高阶线性微分方程的一般理论.ppt

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1、第四章 高阶线性微分方程,Higher-Order Linear ODE,1,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,2,4.1 高阶线性微分方程的一般理论,4.2 常系数高阶线性方程的解法,4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法,本章内容/Main Contents/,CH.4 Higher-Order Linear ODE,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3,理解高阶线性方程解的性质和解的结构,熟练掌握常系数高阶线性方程的解法,本章要求/Requirements/,掌握高阶方程的一般解法,CH.4 Higher-Order Linear ODE,2023/9

2、/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,4.1 高阶线性微分方程的 一般理论,/General Theory of Higher-Order Linear ODE/,5,理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构,理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构,本节要求/Requirements/,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,6,n 阶线性微分方程一般形式：,其中,是区间,上的连续函数。,称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非齐次线性微分方程。,4.1.1 引言/Introducation/,n 阶微分方程一般形式：,2023/9/17,常微分方程-重庆

3、科技学院-李可人,7,方程（4.1）的解的存在唯一性定理:,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,8,4.1.2 齐线性方程解的性质与结构,定理2（叠加原理）如果,则它们的线性组合,的解，这里,是任意常数。,是方程（4.2）,也是（4.2）,的k个解，,例,有解,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,9,证明,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,10,问题：,时，若,能否成为方程（4.2）的通解？,不一定,不包含解,要使,为方程（4.2）的通解,还需满足一定的条件。?,当,是齐线性方程的解，,如在上例中,2023/9/17,常微分方程-重庆科技

4、学院-李可人,11,函数线性无关和相关,定义在,上的函数,，如果存在,使得恒等式,不全为零的常数,对所有,成立，,称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。,如,上线性无关,上线性相关,上线性无关,要使得,则,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,12,定义在,区间上的 k个可微 k-1次的函数,所作成的行列式,称为这些函数的伏朗斯基行列式。,伏朗斯基行列式,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,13,定理3,在区间,上线性相关，,上它们的伏朗斯基行列式,。,则在,证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数,（4.6）,（4.7）,使得,依次对 t 微分此恒等式

5、，得到,若函数,的齐次线性代数方程组，,关于,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,14,它的系数行列式,方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即,由线性代数理论,证毕,其逆定理是否成立？,例如：,即由其构成的伏朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。,不一定,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,15,故,是线性无关的。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,16,如果方程(4.2)的解,在区间,上线性无关，则,任何点上都不等于零，即,在这个区间的,定理4,设有某个,，使得,考虑关于,的齐次线性代数方程组,证明 反证法,（4.9）,

6、2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,17,其系数行列式,，故（4.9）有非零解,构造函数,根据叠加原理，,是方程（4.2）的解，且满足初始条件,由解的唯一性知,，即,因为,不全为0，与,的假设矛盾。,（4.10）,另 也是方程(4.2)的解，,线性无关,证毕,也满足初始条件（4.10）,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,18,定理5 n 阶齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解，,线性相关,定理4,定理3,重要结论,方程(4.2)的解,在区间,上线性无关,的充分必要条件是,且任意 n+1个解都线性相关。,证明,在 上连续，取,则满足条件,存在唯一

7、。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,19,线性无关。,即齐线性方程(4.2)一定存在 n 个线性无关的解。,任取方程(4.2)的n+1个解，,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,20,任意 n+1个解都线性相关。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,21,定理6（通解结构）,其中,是任意常数，且通解（4.11）,是方程（4.2）的n个线性,无关的解，则方程（4.2）的通解可表为,（4.11）,包括方程（4.2）的所有解。,方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。,如果,n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。,

8、2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,22,4.1.3 非齐线性方程与常数变易法,性质1 如果,是方程（4.1）的解，而,（4.2）的解，则,性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。,是方程,也是方程（4.1）的解。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,23,是任意常数，且通解（4.14）包括,定理7,为方程（4.2）的基本解组，,是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为,其中,（4.14）,设,方程（4.1）的所有解。,证明,1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立,的任意常数，是通解。,2),是方程（4.1）

9、的任一个解，则,是方程（4.2）的解,证毕,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,24,设,为方程（4.2）的基本解组，,为（4.2）的通解。,（4.15）,（4.16）,非齐线性方程,齐线性方程,非齐线性方程通解,特解,基解组,表示,关键,常数变易法,为（4.1）的解。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,25,令,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,26,（4.16）,代入方程（4.1）,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,27,方程组有唯一的解，设为,（4.16）,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,

10、28,特解,通解,非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的,结构:,通解与自身的一个特解之和。,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,29,例1 求方程,基本解组为,，,的通解，已知它对应齐线性方程的,解,解得,原方程的通解为,令,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,30,例2 求方程,于域,解 对应的齐线性方程为,上的所有解。,得,易见有基本解组,这里 A、B 为任意常数。,设,为方程的解,故得原方程的通解,（,为任意常数),2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,31,练习题,，并求方程,的基本解组为,1 验证,的通解。,2 求方程,方程的基本解组为,，,的通解，已知它对应齐线性,思考题,常数变易法中待定函数的条件如何选择？,2023/9/17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,