高一数学课件：已知三角函数值求角.ppt

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1、(),(),(),(),已知三角函数值求角（一）,（口答）求下列三角函数值,=,=,=,=,=,sinX=,如何求角X？,由正弦曲线可知：,例1.求满足下列条件的角X的集合.,（1）sinX=，且X 0，,X,O,1,-1,Y,解：,y=sinX在 0，上是增函数,sin=,符合条件的角有且只有 一个，.,即第一象限的角,于是所求的角X的集合是,（2）sinX=，且X，,所求角X的集合是,已知三角函数值求角（一）,X,O,1,-1,Y,求角X，关键在于找出满足条件的相应锐角,（3）sinX=，且X，,0,已知三角函数值求角（一）,sinX=0且X 0，,（3）sinX=，且X，,0,解：,X是

2、第一，二象限的角,由正弦曲线的单调性,sin（-)=sin=,X,O,1,-1,Y,可知在X 0，上符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或第二象限的角-即,于是所求角X的集合是，,（4）sinX=，且X，,0,所求角X的集合是，,又 sin=,已知三角函数值求角（一）,已知三角函数值求角的步骤可概括为：,（1）定象限；,（2）找锐角；,（3）写形式,（1）sinX=，且X 0，,（2）sinX=，且X，,（3）sinX=，且X，,0,（4）sinX=，且X，,0,所求角X的集合是，,所求角X的集合是，,所求角X的集合是,所求的角X的集合是,我们发现：角的范围不同，所求角的集合有时相同，有时

3、不相同.,因此已知三角函数值求角时一定要注意角的范围。,已知三角函数值求角（一）,可知在 X 0，上 符合条件的角有且只有两个，即第三象限的角+=或第四象限的角+=.,例 2（1）已知sinX=，且X 0，求X的取值集合,sinX=0 且X 0，,X是第三，四象限的角,由正弦函数的单调性和 sin(+)=sin(-)=-sin=,于是所求的角X的集合是，,而满足条件sinX=的锐角为,解：,找锐角时，如果正弦值为负，则求出与其绝对值对应的锐角；,如果正弦值为正，则可直接求出对应的锐角.,已知三角函数值求角（一）,满足条件sinX=0.5 的锐角X=,(已知非特殊三角函数值求角：除在求相应锐角时

4、利用计算器外，其余步骤同前。,利用计算器可求得满足条件sinX=-0.3332 的锐角为,解析,于是所求的角X的集合是，,（2）已知sinX=-0.3332,且X 0，求角X的取值集合.,上题答案也可以写成：+arcsin 0.3332,-arcsin0.3332,满足条件sinX=-0.3332 的锐角X=,满足条件sinX=0.65 的锐角X=,满足条件sinX=的锐角X=,反正弦,定义 一般的，在闭区间，上，符合条件,记做arcsin a,即X=arcsin a,其中X，,sinX=a（-1 a 1）,的角X，叫做实数a的反正弦，,且a=sinX,因为sinX=-0.33320,且X 0

5、，所以角X是第三，四象限的角,已知三角函数值求角（一）,（1）sinX=0.3332,且X 0，,课堂练习,1、求满足下列条件的角X的集合.,（2）cosX=，且X 0，,2、已知sin(-X)=,且X 0，求角X的集合.,已知三角函数值求角（一）,答案为，,2、已知sin(-X)=,且X 0，求角X的集合.,解析：应用诱导公式得sinX=.,（1）sinX=0.3332,且X 0，,答案为，,（2）cosX=，且X 0，,答案为，,本节课我们重点研究了给值求角的步骤，当三角函数值不是 1和0时可概括为：定象限，找锐角，写形式，如果要求出 0，范围以外的角则可利用终边相同的角有相同的三角函数值

6、写出结果。,本讲小结：,若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。,用反正弦符号表示角。,作业：,课本：P77 1T、（1）（2）2T、（1）（2）3T、（1）（2）（3）4T、（3）（4）,思考题,求满足下列条件的角X的集合,（1）sinX=1,(2)sinX=,已知特殊三角函数值求角,已知非特殊三角函数值求角,知识回顾,cosX=a（-1 a 1）,（2），,（1）满足条件cosX=-0.7660 的锐角为,于是所求的角X的集合为,上题（2）的答案可以写成-arccos0.7660,+arccos(-0.7660),解析1：,X,O,1,-1,Y,-0.7660,定义 在闭区间 0，上，符合条件

7、,记做arccos a,即X=arccos a,其中X 0，,的角X，叫做实数a的反余弦，,且a=cosX,反余弦,求出对应的锐角；,根据角的象限，利用诱导公式写 0，间的角（，-，+，-）；,由已知正弦值确定角所在的象限；,具体可分如下三步（为方便先不考虑轴线角）：,（定象限）,（找锐角）,（写形式）,已知三角函数值求角（一）,课堂练习：,cosX=-0.7660 0且X 0,X是第二象限的角,利用计算器可求得满足条件cosX=-0.7660 的锐角为(),注意：除在求相应锐角时需 利用计算器，其余步骤同前。,可知在 0，内符合条件的角有且只有一个，即第二象限的角,于是所求的角X的集合是,解

8、：,由余弦函数的单调性和,cos（-）=-cos=-0.7660,X,O,1,-1,Y,-0.7660,根据余弦函数图象的性质，为了使符合条件cosX=a（-1 a 1）的角有且只有一个，我们选择闭区间 0，作为基本的范围。在这个闭区间上，符合条件cosX=a(-1 a 1)的角X，叫做实数a的反余弦，,记做arccos a,即X=arccos a,其中X 0，且a=cosX,例如：=arccos(-0.7663),=arccos,练习 已知cosX=-0.7660，且X 0，求满足条件的角X的集合.,X,Y,O,1,-1,例 2（1）已知sinX=，且X 0，求X的取值集合,已知三角函数值求

9、角（一）,（1）已知sinX=，且X 0，求X的取值集合,课堂练习：,（2）已知sinX=-0.3332,且X 0，求满足条件的角X,由正弦曲线可知：,增函数,且sin=,因此符合条件的角有且只有一个，即.,于是所求的角X的集合是,解：,sin X=，且X,.,y=sinX在，上是,X,Y,O,1,-1,X是第一象限的角,例1(1)已知sin X=，且X,，求X的取值集合.,学习要求,知识讲解,课堂练习,本课小结,课后作业,学习要求,利用三角函数的图象、符号规律、诱导公式及使用计算器的方法等项知识和技能，学会已知一个三角函数值，求与它对应的角的方法；为今后学习解三角方程、三角不等式等奠定基础。

10、,4.11.1 已知三角函数值求角（一）,2.答案为，-解析：应用诱导公式得sinX=，所角X是第一，二象限角，求得锐角=，故第一象限的角为 或第二象限 的角-=，所以所求角的集合为，,1.答案为,解析：在 ABC中cosA=0.7660，所以 A 是锐角，因此,A的集合为,答案可以写成 arccos0.7660,已知角的一个三角函数值求角,要结合角所属范围和三角函 数在此区间上的单调性来确定。一般说来，所得的解不是唯一的，而是有无数多个，其解法步骤可概括为：（1）由已知函数值的正、负确定所求角所在的象限（定象限）；（2）如函数值为正，若函数值是非特殊值，则用计算器，先求 出对应的锐角；如果函

11、数值为负，则先求出与其绝对值 对应的锐角（找锐角）；（3）根据所在的象限，得出0360间的角（写形式）；（4）如果要求 0，范围以外的角，则可利用终边相同的角的 表达式写出（求全角）。,本讲小结：,若求得的角是特殊角，最好用弧度表示。,sinX=0且X 0，,因此在X 0，上符合条件的角有且只有两个：第一象限的角 或第二象限的角-即,例1 已知sin X=，且 X 0,，求X的取值集合.,X是第一，二象限的角,由正弦曲线可知：y=sinX在0，上是,增函数,且sin=,Y=sinX在，上是,减函数，,且sin（-)=sin=,于是所求的X的集合是，,X,Y,O,1,-1,解：,=arcsin，

12、,定义 在闭区间，上，符合条件,记做arcsin a,即X=arcsin a,其中X，且a=sinX,反正弦,sinX=a（-1 a 1）,的角X，叫做实数a的反正弦，,例如：,=-arcsin,arcsin,-arcsin,(2)已知sin X=，且X 0,，求X的取值集合.,X,Y,O,1,-1,答案也可以写成：+arcsin(),-arcsin(),注意：由以上几例的解答,已知正弦三角函数值求给定区间的角具有共同的规律：,例3 已知cosX=，且X 0，求X的取值集合。,cosX=0 且X 0，,解：,X是第二，三象限的角,而满足条件tanX=的锐角为,由余弦函数的单调性和cos(+)=cos(-)=-cos=,可知在 X 0，上 符合条件的角有且只有两个，即第二象限的角-=或第四象限的角-=.,于是所求的角X的集合是，,X,Y,O,1,-1,=arccos()，,定义 在闭区间 0，上，符合条件,记做arccos a,即X=arccos a,其中X 0,，且a=cosX,反余弦,cosX=a（-1 a 1）,的角X，叫做实数a的反余弦，,例如：,=-arccos(),arccos(),-arccos(),例3 已知cosX=，且X 0，求X的取值集合。,Y,1,X,Y,O,1,-1,X,Y,O,X,Y,O,Y=sinX,Y=cosX,1,-1,1,-1,知识回顾,