集合与集合的运算.ppt

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1、第一模块 集合与常用逻辑用语(必修1+选修1-1)必考部分,考 纲 精 要1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义元素与集合的“属于”关系.(2)能用自然语言图形语言集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.,2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.,3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.,4.命题及其关系,充要条件(1)理解命题的概念.(2)会分析

2、四种命题的相互关系.(3)理解必要条件充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系.,5.简单的逻辑联结词,全称存在量词(1)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.(2)理解全称量词与存在量词的意义.(3)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.,命 题 走 向1.以考查集合的运算为主,同时考查集合的性质及集合与元素集合之间的关系,同时注意“Venn图”的考查.2.以考查充要条件的判断为重点,兼顾考查命题的四种形式及命题的等价性;考查命题转换逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力.3.多以选择填空题的形式出现.,4.有时以充要条件为载体,考查其他数学知识.5.以考查学生的推理能力为重点,一

3、般不会单独命题,经常跟其他知识结合在一起,在知识的交汇点处命题.6.全称量词与存在量词作为新增内容,很有可能在选择题填空题中出现.,第一讲集合与集合的运算走进高考第一关 基础关,教 材 回 归1.集合中的元素有三个明显的特征:(1)_;(2)_;(3)_.2.元素与集合的关系有_和_两种.3.集合与集合之间有三种关系:,确定性,互异性,无序性,属于,不属于,(1)子集(包含与被包含)定义:AB如果任意xA,那么_;(2)真子集定义:ABAB,且B中至少有一元素_(规定:空集是任何一个非空集合的真子集);(3)相等:_AB且BA.,xB,不属于A,A=B,4.集合的运算涉及交并补集.(1)交集定

4、义:AB=x|xA_xB;(2)并集定义:AB=x|xA_xB;(3)补集定义:设U为全集,AU,_叫做集合A在U中的补集,记UA,即UA=x|xU且xA;,且,或,由U中不属于A的元素组成的集合,(4)基本性质:AA=_;A_=A;A_=BA;A_=BA;(AB)_=A(BC);(AB)_=A(BC);A_=;A=_;,A,A,B,B,C,C,A,U(UA)=_;U(AB)=(UA)_(UB);11U(AB)=(UA)_(UB).,A,考 点 陪 练,1.(2010新创题,易)含有三个实数的集合可表示为a,1,也可表示为a2,a+b,0,则a2009+b2009的值为()A.0 B.1C.-

5、1 D.1,解析:本题考查集合的性质及求值的方法,由题知b=0,a=-1,a2009+b2009=-1,故选C.,答案:C,2.(2010新创题,易)已知全集U=x|-2008x2010,A=x|2009xa,若A,则a的取值范围是()A.a2010B.a2010C.a2010D.2009a2010,解析:A,所以2009a,又U=x|-2008x2010,所以a2010,选D.,答案:D,3.已知集合A=x|x2,解析:RB=x1或x2,由A(RB)=R,得a2.,答案:C,4.若A=xZ|222-x1,则A(RB)的元素个数为()A.0B.1C.2D.3,解析:A=xZ|-12或0 x,R

6、B=xR|x0或 x2.A(RB)=0,1.,答案:C,5.已知全集U=R,集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个,解析:集合M=x|-1x3,N=1,3,5,MN=1,3.故选B.,答案:B,解读高考第二关 热点关,类型一:元素与集合的关系,解题准备:集合中的元素具有确定性互异性和无序性.特别是用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可少的步骤.,典例1(分类讨论),已知集合M中的元素均为自然数,且满足:当xM时,必有4-xM,求出满足条件的所有的集合M.,解

7、：M中的元素都为自然数,且当xM时,都有4-xM,由x0,4-x0,xN,得0 x4,且xN.x只能取0,1,2,3,4中的数.,下面按集合M中所含元素的个数进行分类讨论:,(1)若集合中含有一个元素.设xM,由题意知4-xM.,M只含一个元素,由集合中元素的互异性得x=4-x,x=2.M=2.,(2)若集合M中含有两个元素.,当0M时,由题意知4M;当1M时,由题意知4-1M,即3M;当3M时,由题意知1M;当4M时,由题意知0M.,再由集合中元素的无序性可知,含有两个元素的集合M为M=0,4或M=1,3.,(3)若集合M中含有三个元素,由题意及上面的分析可得M=0,2,4或M=1,2,3.

8、(4)若集合M中含有四个元素,由题意及上面的分析可得M=0,1,3,4.(5)若集合M中含有五个元素,由题意知M=0,1,2,3,4.,综上所述,所求满足条件的集合M为2或0,4或1,3或0,2,4或1,2,3或0,1,3,4或0,1,2,3,4,共7个.,本题为了求出符合条件的集合M,首先确定出集合M中元素的取值范围,然后按M所含元素的个数进行分类,而在第(2)类中要注意元素的互异性.,类型二:集合与集合之间的关系,解题准备:,集合间的基本关系包括两集合相等子集真子集等.2.此类问题的求解离不开基本的运算变形,以达到化简集合便于运算的目的,较好地体现了高考对运算求解能力的考查.,典例2(数形

9、结合)已知集合A=x|x-1或x1,B=x|2axa+1,且BA,求实数a的取值范围.,解：(1)当2aa+1,即a1时,B=,此时符合条件.(2)当2aa+1,即a1时,B,画出数轴,并把集合A与B在数轴上表示出来.,解得 a-2 或 1/2a1,a(-,-2 1/2,1),评析：(1)在解题时要特别注意对的讨论.(2)在涉及到集合之间的包含关系时一定要看是否包括端点的临界值,确定的方法就是对端点的临界值进行检验,看它是否符合条件.,类型三:集合的简单运算,解题准备:集合的基本运算性质:AB=ABA;AB=AAB;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).这些性质能简化集合

10、的运算,应熟练掌握,典例3(方程思想)已知全集U=|a-1|,(a-1)(a-2),4,6,AB都是U的子集.(1)若U(UA)=0,1,求实数a的值;(2)若UB=3,4,求集合B.,(1)U(UA)=A,A=0,1,AU,0U,1U.,(2)UB=3,4,并且UBU,3U,|a-1|=3或(a-1)(a-2)=3.a=4或a=-2或a=或a=.当a=4时,(a-1)(a-2)=6,不符合集合中元素的互异性,舍去.当a=-2时,U=3,12,4,6,B=6,12.,当a=时,U=,3,4,6,B=6,.,当a=时,U=,3,4,6,B=6,综上所述,B=6,12或B=6,或B=6,.,评析：

11、本题运用方程的思想方法根据已知条件和子集的性质建立关于a的方程,从中求出a的值.尤其是第(2)小题,先建立关于a的方程求出a的值后,再确定集合B.,探究1已知全集U=x|-5x3,A=x|-5x-1,B=x|-1x1,求UA,UB,(UA)(UB),(UA)(UB),U(AB),U(AB),并指出其中相等的集合.在数轴上表示出集合U,A与B(如图).,由图形可知UA=x|-1x3,UB=x|-5x-1或1x3,(UA)(UB)=x|1x3,(UA)(UB)=x|-5x3,U(AB)=U=x|-5x3,U(AB)=x|1x3.,相等的集合有(UA)(UB)=U(AB),(UA)(UB)=U(AB

12、).评析：本题将各不等式的解集在数轴上表示出来,利用数形结合的思想方法,形象直观地使问题得到解决.类型四:集合与方程不等式的交汇,解题准备:1.采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则A的补集即为所求.2.在对参数进行讨论时,分类要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况给出问题的解答.分类讨论的一般步骤是:确定标准;恰当分类;逐步讨论;归纳结论.,典例4(补集思想)已知曲线y=x2上任意两个不同的点PQ都不关于直线y=m(x-3)对称,求实数m的取值范围.,分析：先求出曲线y=x2上存在两个不同的点关于直线y=m(x-3)对称的实

13、数m的范围,然后再求其补集即可.,解：(1)若m=0,则直线为y=0,显然曲线y=x2上任意两个不同的点都不关于直线y=0(即x轴)对称.(2)若m0,设与直线y=m(x-3)垂直的直线为l:y=-x+b,解方程组,消去y并整理得x2+x-b=0,直线l与抛物线y=x2有两个不同的交点关于直线y=m(x-3)对称的条件是,从式中解出b并代入式解得m-.所求m的取值范围是,评析：本题中求曲线上不存在两不同点关于直线y=m(x-3)对称时所对应的m的取值范围较难,而且感觉无从下手,因此我们运用补集思想,先求出曲线上存在两点关于直线对称的实数m的取值范围A,然后再求A在全集U=R的补集.对于这种否定

14、形式的问题,采用此法较为简单.,探究2：已知集合A=xR|-4mx+2m+6=0,B为负实数组成的集合,若AB,求实数m的取值范围.,评析：集合A是方程x2-4mx+2m+6=0的实数解组成的集合,AB意味着方程的根有:两负根;一负根一正根;一负根一零根这三种情况,分别求解比较麻烦,因此我们考虑条件AB的反面,即考虑AB=,这时只有一种情况,就是方程有两个非负根.另外,由于我们选取的全集为U=m|0,所以在求满足AB=的条件中不必考虑A=的情况.,笑对高考第三关 成熟关名 师 纠 错误区:集合含义不明致误,典例已知集合A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|kx-y-20,其中x,yR

15、.若AB,则实数k的取值范围是_.,剖析：本题中的集合实际上是有序实数对所组成的集合,可以用坐标平面上的点来表示,容易出现的问题就是不理解这种集合与平面上点的对应关系,导致解题方向不明或错误.,评析：集合是一类对象的总体,一些数学问题用集合的语言表达出来,在解题时如果不能把集合表达的数学问题翻译出来,就会导致解题失误.本题中如果不理解集合A,B均是平面上点的集合,以及集合B为平面上的半平面区域,是不能正确解答本题的.解决集,合问题搞清楚集合的具体含义是至关重要的,在解题时要注意仔细分析,结合数学的的其他知识认清集合的含义,再去寻找解决问题的方法.,变式:已知集合P=(x,y)|y=k(x-1)

16、+1,xR,yR,Q=(x,y)|x2+y2-2y=0,xR,yR,那么集合PQ中()A.没有一个元素 B.有一个或两个元素C.只有两个元素 D.无穷个元素,解析:Q是圆x2+(y-1)2=1上所有点的集合,P是直线y=k(x-1)+1上所有点的集合.直线与圆有公共点(1,1),且直线不垂直于x轴,故直线系与圆恒有两个不同的公共点,即集合PQ中只有两个元素.,答案:C,典例设集合A=(x,y)|y2-x-1=0,B=(x,y)|4x2+2x-2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b.求满足(AB)C=的正整数k=_,b=_.,快 速 解 题,由题设知,直线y=kx+b与曲线-x-1=0和4+

17、2x-2y+5=0都不相交.这两曲线分别是开口向右的抛物线和开口向上的抛物线,令两曲线方程中的x=0可得知与y轴相交于点(0,-1),(0,1)和(0,),如右图.由于bN+,故必有b=2.又kN+,若k=2,则直线y=kx+2与抛物线=x+1有公共点(-1,0),不合题意,故只有k=1.满足(AB)C=的k=1,b=2.,方法与技巧：本题通过用判别式小于0求出直线与曲线不相交的k值,解法较繁.而数形结合法在确定了b值后,立即就可以确定k值.这种方法省了不少时间,既快又准确,考试时,建议用这种方法.,得分主要步骤：无论哪种解法,先求出两曲线在y轴上的截距都是很重要的,否则不能确定b,从而无法进

18、行下去.由判别式小于0求出的k值需同时成立,就可以确定k的值.数形结合求k值时,由于kN+,故只能k=1.可以明显看出k2.易丢分原因：若想不到直线y=kx+b与两曲线都不相交,则此题无法解.想到不相交,但不先求出两曲线与y轴的交点,就无法确定b值,往下也难以解下去.由曲线方程画不对图象或找不准位置也是丢分的重要原因.,一注意00的关系0是一个数,不是集合;0是含有一个元素0的集合;是一个不含任何元素的集合;是以对象“”为元素的集合,这四个符号互不等同.它们之间的关系是:00;0,.,教 师 备 选,典例1下列关系式中不正确的是()A.0 B.00C.0 D.0,解析：是任何集合的子集,A不正

19、确.,答案：A,二注意集合的特征性质表示法中代表元素的区别,有些集合的特征性质相同,而代表元素不同,则集合表示的意义一般不同.例如A=x|y=2x2+1,B=y|y=2x2+1,C=(x,y)|y=2x2+1表示的意义不同,A=x|y=2x2+1表示函数=2x2+1的定义域,即为R;B=y|y=2x2+1表示函数y=2x2+1的值域,即为y|y1;C=(x,y)|y=2x2+1表示函数y=2x2+1的图象上所有点的坐标组成的集合,若把y=2x2+1看做二元方程,则集合C表示方程y=2x2+1的解集,若把(x,y)看做点,则集合C表示一个点集,即二次函数y=2x2+1的图象.,典例2已知x,yR

20、,P=x|=-x+,Q=y|y=-1,求PQ.,评析：集合y|y-1与x|x-1是两个相同的集合,都表示由所有不小于-1的实数组成的集合.,课时作业一 集合与集合的运算,一选择题1.(2010新创题,易)已知全集U=R,集合A=x|x2010 x2011,B=x|k2011 B.2009k2011C.0k2011 D.-2010k2011,解析:由于UA=x|2010 x2011,(UA)B,k2011且2010k+1,2009k2011,选B.,答案:B,2.(易错题,易)已知M=x|x=a2+2a+4,aZ,N=y|y=b2-4b+6,bZ,则MN之间的关系是()A.MN B.NMC.M=

21、N D.M与N之间没有包含关系,解析:取a=0,则4M,但4N,若不然,有b2-4b+6=4,bZ.又取b=0,6N,但6M.,答案:D,3.(基础题,易)已知M=x|x=a2+2a+4,aR,N=y|y=b2-4b+6,bR,则MN之间的关系是()A.MN B.NMC.M=N D.M与N之间没有包含关系,解析:M=x|x=(a+1)2+3,aR,xR,则y2.MN.,答案:A,4.(易错题,易)M=x|x=1,xR,N=(x,y)|x=1,yR,则MN之间的关系是()A.MN B.NMC.M=N D.M与N之间没有包含关系,解析:两集合中的元素的属性不同,选D.误选A大有人在.,答案:D,5

22、.(基础题,易)M=(x,y)|xR,y0,N=(x,y)|xR,y=|x|,则下列关系正确的是()A.MN B.NMC.M=N D.M与N之间没有包含关系,解析:易知两集合无包含关系.,答案:D,6.(2010新创题,易)设全集为U,若命题p:2010AB,则命题p是()A.2010AB B.2010A且2010BC.2010(UA)(UB)D.2010(UA)(UB),解析:命题p是2010U(AB),即2010(UA)(UB).,答案:D,评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质U(AB)=(UA)(UB)与U(AB)=(UA)(UB)能够加强联想与发散.,二填空

23、题7.(基础题,易)用列举法表示下列集合:(1)A=xN|N与B=N|xN;(2)C=y|y=-x2+4,xN,yN与D=(x,y)|y=-x2+4,xN,yN;(3)E=x|x=,p+q=5,pN,qN*.则A=_,B=_,C=_,D=_,E=_,0,3,4,5,1,2,3,6,0,3,4,(0,4),(1,3),(2,0),0,4,解析:(1)当x=0,3,4,5这些自然数时,=1,2,3,6是自然数,A=0,3,4,5;反之,=1,2,3,6时,x=0,3,4,5,注意到B=N|xN中的代表元素是,因此B=1,2,3,6;,(2)由y=-x2+4,xN,yN,则y4,可以逐一验证出x=0

24、,1,2,分别对应y=4,3,0,则C=4,3,0,D和C代表元素不同,D=(0,4),(1,3),(2,0);,8.(2010新创题,易)已知集合AB与集合AB的对应关系如下表:若A=-2009,0,2010,B=-2009,0,2011,试根据图表中的规律写出AB=_.,答案:2010,2011,解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合AB中的元素是AB中的元素再去掉AB中的元素组成,故当A=-2009,0,2010,B=-2009,0,2011时,AB=2010,2011.,9.(2010济宁月考)(能力题,中)设全集U=(x,y)|x,yR,合M=(x,y)|=1,N=(x,y)|

25、yx-4,那么(UM)(UN)=_.,解析:M:y=x-4(x2),M代表直线y=x-4,但是挖掉点(2,-2),UM代表直线y=x-4外,但是包含点(2,-2);N代表直线y=x-4外,UN代表直线y=x-4,(UM)(UN)=(2,-2).,答案:(2,-2),三解答题10.设A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,若BA,求实数a的值.解:A=x|x2+4x=0=-4,0.BA,B=或B=-4或B=0或B=-4,0.(1)当B=时,方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根,=4(a+1)2-4(a2-1)0,解得a-1.(2)当B=-4时,方程x2+2(

26、a+1)x+a2-1=0有两个相等实根x1=x2=-4,由根与系数关系得,评析:(1)本题是化简集合A,由于集合A共有4个子集,而B是A的子集,所以按照集合B分别取A的四个子集进行分类讨论.(2)本题也可以对集合B分三类进行讨论:集合B是空集;集合B是单元素集合;集合B中含有两个元素.当B是单元素集合时,由=0求出a的值,然后代入集合B并求出B,看是否满足条件,即把B=-4或B=0这两种情况合并为=0的情况求解.(3)分类讨论的原则是按照某一确定的标准(即同一个标准),不重复,不遗漏;讨论的方法是逐类进行,还必须注意要综合讨论的结果,使解题步骤完整.,11.(能力题,中)已知关于x的不等式 0

27、的解集为M.(1)当a=4时,求集合M;(2)(理)若3M且5M,求实数a的取值范围.(文)若3M,求实数a的取值范围.,解:(1)由a=4,得 0,此不等式同解于(x2-4)(4x-5)0,即(x+2)(x-2)0,解得x-2或x2.故M=x|x-2或 x2.,(2)(理)由3M,得 0,解得a9.又由5M,得(5a-5)(25-a)0,解得1a25.由求得1a9.,12.(能力题,中)设A=x|-2xaB=y|y=2x+3,xA,C=z|z=x2,xA,且CB,求实数a的取值范围.,解:解法一:A=x|-2xa,B=y|y=2x+3,xA=y|-1y2a+3.当-2a0时,C=z|a2z4,CB,42a+3,解之得a,这与-2a0矛盾.,当02,C=z|0za2.CB,a22a+3,解之得-1a3,2a3,解法二:如右图所示,在同一坐标系内,作出函数y=2x+3(x-2和y=x2(x-2)的图象.令2x+3=(-2)2,解之得x=,令2x+3=x2(x-2),解得x=3,a的范围是,