随机过程均方可积.ppt

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1、西南科技大学,5.2 随机过程的均方积分,本节主要介绍黎曼意义下的均方积分概念,一、均方积分概念,定义1 设X(t),ta,b是二阶矩过程,f(t),ta,b是普通函数,任意取分点a=t0 t1 tn=b,将区间a,b分成 n 个小区间,做和,西南科技大学,若均方极限,存在,且与区间a,b的分法及t*的取法无关,称为二阶矩过程f(t)X(t)在a,b上的黎曼均方积分,记为,西南科技大学,特别当f(t)1,ta,b 则,称为随机过程X(t),ta,b在a,b上的均方积分.,定义2 设X(t),ta,b是二阶矩过程,f(t),ta,b是普通函数,任意取分点a=t0 t1 tn=b,将区间a,b分成

2、 n 个小区间,若均方极限,西南科技大学,存在,且与区间a,b的分法及t*的取法无关,称为f(t)对二阶矩过程X(t)在a,b上的黎曼斯蒂阶均方积分,记为,特别当W(t)是维纳过程,称为f(t)关于维纳过程的伊藤积分。,西南科技大学,二、均方积分准则,设X(t),ta,b是二阶矩过程,f(t)是普通函数,f(t)X(t)在a,b上均方可积的充分必要条件是二重积分,定理1,存在,其中R(s,t)是X(t)的自相关函数.,西南科技大学,注1,有书认为必要性不成立，但未举出反例.,注2,若X(t),ta,b的自相关函数R(s,t)在a,ba,b上可积,则X(t)在a,b上均方可积,推论1,实际推出重

3、要公式,重要公式,西南科技大学,定义 广义黎曼均方积分定义为,推论3,存在的充分必要条件是广义二重积分,广义均方积分,存在且有限.,若X(t)在a,b上均方连续,则X(t)在a,b上均方可积.,推论2,西南科技大学,定理2,均方积分具有以下性质,1）均方积分是惟一的,即,2)均方积分具有线性性质,若X(t),Y(t)在a,b上均方可积,则对,三、均方积分性质,西南科技大学,特别有,3）均方积分具有对积分区间的可加性,以上各条性质类似于普通黎曼积分.,4）设X(t)在a,b均方连续,则,西南科技大学,若 f(t)X(t)在a,b上均方可积,则有,定理3,均方积分的矩,定理1之注2,西南科技大学,

4、EX.1 设A,B相互独立同分布于N(0,2),X(t)=At+B,t0,1,试求下列随机过程的数学期望.,西南科技大学,西南科技大学,四、均方不定积分,定义 设X(t)在a,b在上均方连续,对,称为X(t)在a,b上的均方不定积分.,设X(t)在a,b上均方连续,则其在a,b上的均方不定积分 Y(t)在a,b上均方可导,且,定理4,西南科技大学,(牛顿-莱布尼兹公式)设X(t)在a,b上均方可导,定理5,西南科技大学,EX.2 设X(t)=Acosat+Bsinat,t0,a为常数a0,A与B相互独立,均服从N(0,2),判断X(t)是否均方可积.,RX(s,t)=EX(s)X(t),=EA

5、2cosascosat+B2sinassinat,西南科技大学,RX(s,t)=2cosa(ts).,在0,+0,+上连续,故X(t)对所有t0均方连续,从而均方可积,且令,西南科技大学,EX.3 设,其中,Y(t)是一个已知的均方连续二阶矩过程，求X(t),并求其数字特征.,解 直接积分并代入初始条件,得,西南科技大学,EX.4 设W(t),t0为参数为2的维纳过程,求积分过程,的均值函数和相关函数.,西南科技大学,设st,u=v,西南科技大学,由s 与t 的对称性,维纳过程是均方连续,均方不可导,均方可积的二阶矩过程.,西南科技大学,均方可导,均方连续,均方可积,逆均不真,二阶矩过程的极限

6、、连续、导数、积分，其统计特征主要由相关函数表征.,西南科技大学,五、正态随机过程的均方微积分,(实值)正态过程是重要的二阶矩过程,常见正态过程的导数或积分问题.,正态随机变量序列的均方极限仍为正态分布随机变量.,定理6,即若Xn,n1为正态随机变量序列,则X是正态随机变量.,西南科技大学,由均方收敛性质,西南科技大学,定理7,m维正态随机向量序列,的均方极限仍为m 维正态随机向量,即若,设X(t),tT为一个正态过程,且在T上均方可微,则其导数过程,定理8,西南科技大学,证 对于任意m1，任取t1,t2,tmT,m维正态随机向量的线性变换仍为正态随向量，,仍为m 维正态随机向量,当,由定理7知,是m维正态随机向量，,西南科技大学,若X(t),ta,b是均方连续的正态过程,定理9,也是正态过程.,证 在(a,b)上任取t1,t2,tm,对每一个区间(a,tk)进行分割：,西南科技大学,是正态随机变量，且,k=1,2,m,由定理7知,是m维正态随机向量，,西南科技大学,