随机变量及其类型.ppt
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1、高校理科通识教育平台数学课程,概率论与数理统计,讲授,孙学峰,第二章 随机变量及其分布,随机变量离散型随机变量随机变量的分布函数连续型随机变量随机变量的函数的分布,2.1 随机变量及其类型,2.1.2 随机变量的分类,2.1.3 离散型随机变量及其分布,2.1.4 随机变量的分布函数,2.1.1 随机变量,用样本空间的子集,即基本事件的集合来表示随 机试验的各种结果,这种表示方式对全面讨论随机试验的统计规律性及数学工具的运用存在较大局限。为此,我们将随机试验结果量化,即引入随机变量的概念。这样,不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计规律性,而且可使我们用(数学分析)微积分的方法来讨论随机试
2、验。,在随机试验中,如果把试验中观察的对象与实数对应起来,即建立对应关系X,使其对试验的每个结果,都有一个实数X()与之对应,,试验的结果,实数X(),对应关系X,则X的取值随着试验的重复而不同,X是一个变量,且在每次试验中,究竟取什么值事先无法预知,也就是说X是一个随机取值的变量。由此,我们很自然地称X为随机变量。,随机变量的概念,定义2.1 设E是一个随机试验,=是试验E的样本空间,如果对于 中的每一个样本点,有一实数X()与之对应,这个定义在 上的实值函数X()就称为随机变量。,由定义可知,随机变量X()是以样本空间为定义域的一个单值实值函数。,有关随机变量定义的几点说明:(1)随机变量
3、X不是自变量的函数而是样本点e的函数,常用大写字母X、Y、Z 或小写希腊字母、等表示。(2)随机变量X随着试验结果而取不同的值,因而在试验结束之前,只知道其可能的取值范围,而事先不能预知它取什么值,对任意实数区间(a,b),“aXb”的概率是确定的;(3)随机变量X()的值域即为其一切可能取值的全体构成的集合;(4)引入随机变量后,就可以用随机变量描述事件,而且事件的讨论,可以纳入随机变量的讨论中。,例2.1 一批产品中任意抽取20件作质量检验,作为检验结果的合格品的件数用X表示,则X是随机变量。X的一切可能取值为 0,1,2,20 X=0表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”;X=1表示事
4、件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”;X=k表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。,例2.2 将一颗骰子投掷两次,观察所的点数,以X表示所得点数之和,则X的可能取值为2,3,4,12,而且X=2=(1,1),X=3=(1,2),(2,1),X=4=(1,3),(2,2),(3,1),X=12=(6,6)。,随机变量X的取各个可能值的概率列于下表:,P(X=2)=1/36,P(X=3)=2/36,P(X=4)=3/36,P(X=12)=1/36,例2.3 一正整数n等可能地取1,2,3,15共十五个值,且设X=X(n)是除得尽n的正整数的个数,则X是一个随机变量,且有下表:,即可得X取
5、各个可能值的概率为:,例2.4 一个地铁车站,每隔5分钟有一列地铁通过该站。一位乘客不知列车通过该站的时间,他在一个任意时刻到达该站,则他候车的时间X是一个随机变量,而且X的取值范围是0,5,随机变量的分类:,2.1.2 随机变量的分类,随机变量,2.1.3 离散型随机变量,一、离散型随机变量及其分布律,1、离散型随机变量的概念,若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性,要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。,2、分布律,设离散型随机变量X,其所有可能取值为
6、x1,x2,xk,且取这些值的概率依次为p1,p2,pk,即,则称P(X=xk)=pk(k=1,2,)为随机变量X 的概率分布律,简称分布律。分布律可用表格形式表示为:,P(X=xk)=pk,(k=1,2,)而且满足(1)P(X=xk)=pk0,(k=1,2,)(2),例2.5 设袋中有5只球,其中有2只白球,3只黑球。现从中任取3只球(不放回),求抽得的白球数X为k的概率。,解,X=k的所有可能取值为0,1,2,X是一个随机变量,解 设Ai 第i次射击时命中目标,i=1,2,3,4,5则A1,A2,A5相互独立,且P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.6 某射手
7、对目标独立射击5次,每次命中目标的概率为p,以X表示命中目标的次数,求X的分布律。,二、几个常用的离散型随机变量的概率分布律,1、(0-1)分布 若随机变量X的分布律为:P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1,(0p1)则称X服从以p为参数的0-1分布,记为XB(1,p)。,0-1分布的分布律也可写成,即随机变量只可能取0,1两个值,且取1的概率为p,取0的概率为1-p(0p1),亦即P(X=1)=p,P(X=0)=1-p。,若某个随机试验的结果只有两个,如产品是否合格,试验是否成功,掷硬币是否出现正面等等,它们的样本空间为=1,2,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量,即它们都可
8、用0-1分布来描述,只不过对不同的问题参数p的值不同而已。,2、二项分布,(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。设随机试验满足:1在相同条件下进行n次重复试验;2每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;3在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=p;4各次试验是相互独立的,则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。在n重贝努里试验中,人们感兴趣的是事件A发生的次数。,以随机变量X表示n次试验中A发生的次数,X可能取值为0,1,2,3,n。设每次试验中A发生的概率为p,,发生的概率为1-p=q。,(X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”,即,这里每一项表示k次试验中出现A,
9、而另外n-k次试验中出现,,且每一项两两互不相容,一共有Cnk项。,由4独立性可知每一项的概率均为pk(1-p)1-k,因此,此为n重贝努里试验中A出现k次的概率计算公式,记为,(2)二项分布定义,若随机变量X具有概率分布律,其中p+q=1,则称随机变量X服从以n,p为参数的二项分布,记为XB(n,p)(或称贝努里分布)。可以证明:,正好是二项式(p+q)n展开式的一般项,故称二项分布。特别地,当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为0-1分布。,例2.7 设有一大批产品,其次品率为0.002。今从这批产品中随机地抽查100件,试求所得次品件数的概率分布律。,解(视作放回抽样检验
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- 随机变量 及其 类型
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