逻辑代数和函数化简.ppt

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1、2.1.1 基本逻辑运算,1.与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。,功能表,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,第 2 章 逻辑代数和函数化简,真值表,（Truth table）,逻辑函数式,与门（AND gate),逻辑符号,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,2.或逻辑：,决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。,或门（OR gate),或逻辑关系,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,3.非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发

2、生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非门（NOT gate),非逻辑关系,1,0,0,1,4.逻辑变量与逻辑函数,在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是 1 就是 0。,逻辑函数：,如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作,原变量和反变量：,字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。,逻辑变量：,(1)与非逻辑(NAND),(2)或非逻辑(NOR),(3)与或非逻辑(AND OR INVERT),(真值表略),1,1,1,0,0

3、0,0 1,1 0,1 1,1,0,0,0,2.1.2 复合逻辑运算,Y1、Y2 的真值表,(4)异或逻辑(ExclusiveOR),(5)同或逻辑(ExclusiveNOR),(异或非),0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,=AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,3.逻辑符号对照,曾用符号,美国符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0+0=0,1+0=1,1+1=1,与：,0 0=0,0 1=0,1 1=1,非：,2.变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A+0=A,A+1=1,与:,A 0=0,A 1=A,非：,2.2.1 逻辑代数的基本定律

4、,1.常量之间的关系(常量：0 和 1),2.2 逻辑代数的基本定律及规则,3.与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,例 1.1.1 证明公式,解,方法一：公式法,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中),A B C,4.逻辑代数的一些特殊定理,同一律,A+A=A,A A=A,还原律,例 1.1.2 证明：,A B,5.若干常用公式,公式(4)证明：,公式(5)证明：,即,=AB,同理可证,6.关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,(4)常量和变量的异或运算,(5)因果互换律,如果,则有,=AB,将Y

5、 式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,2.2.3 逻辑代数的三个基本规则,1.代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如，已知,(用函数 A+C 代替 A),则,2.反演规则：,不属于单个变量上的反号应保留不变,例如：已知,反演规则的应用：求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,3.对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将 Y 中“.”换成“+”,“+”换成“.”“

6、0”换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,0 0=0,1+1=1,逻辑函数的基本概念,2.3 逻辑函数的表示方法,及其转换,逻辑函数：,如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被唯一确定，则称 Y 是 A、B、C 的逻辑函数。并记作。,逻辑函数具有以下特点：,1.输入变量与输出变量之间的逻辑关系；,2.函数由三种基本逻辑运算组成；,3.输入和输出逻辑变量的取值只能是0或1。,逻辑函数的相等,若两逻辑函数具有相同的真值表，则这两个逻辑 函数相等,从逻辑问题建立逻辑函数的过程,在现实生活中，为了解决实际逻辑问题，应根据提出的问题，确定哪些是

7、逻辑自变量，哪些是逻辑因变量，然后研究他们之间的因果关系，列出真值表，再根据真值表写出逻辑表达式。,通过一个简单的例子加以介绍。右图是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。A、B是两个单刀双掷开关，A装在上，B,装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、B与照明灯之间的关系。,解：,(1)设开关A、B为输入变量:开关接 上面为“1”，开关接下面为“0”,设电灯L为输出变量，灯亮L=1，灯灭L=0。,(3)根据真值表，写出逻辑表达式：,(2)列出A、B所有状态及对应输出L的状态，即真值表。,把对应函数值为“1”的变量组

8、合挑出（即第1、4）组合，写成一个乘积项；,最后，将上述乘积项相加，即为所求函数：,0 1,1 0,1 1,1,0,01,真值表表示法；,逻辑函数表达式法；,逻辑函数的表示方法：,逻辑图表示法；,波形图表示法。,卡诺图表示法等；,优点：,书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。,缺点：,逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。,2.3.1 逻辑表达式,我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,或与式,与或非式,1.逻辑表达式的类型,与或式,与非-与非式,或与非式,或非-或非式,或非-或式,核

9、心,标准与或表达式,2.逻辑函数的标准形式,1）最小项,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,（1）最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,(2 变量共有 4 个最小项),(4 变量共有 16 个最小项),(n 变量共有 2n 个最小项),(3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,（2）最小项的性质：,a 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,b 任意两个最小项的乘积为 0；,c 全体最小项之和为 1；,d 任何两个相邻项均可合并成一项并消去一个互补因子。,（3）最

10、小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2）最小项标准表达式,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,例 写出下列函数的标准与或式：,m7,m6,m5,m4,m1,m0,m8,m0,与前面m0相重,优点：,直观明了，便

11、于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,1,1,1,1,0,0,0,0,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,2.3.3 卡诺图,2.3.2 逻辑真值表,卡诺图：,2.变量 的卡诺图,最小项方格图(按循环码排列),(四个最小项),A,B,1.变量卡诺图的画法,（1）变量卡诺图一般都化成正方形或矩形,（2）按循环码(格雷码)排列变量取值顺序。,三变量 的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡诺图的实质：,紧挨着,行或列的两头,对折

12、起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,五变量 的卡诺图：,四变量 的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m

13、6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,3.逻辑函数的卡诺图表示法,1）.根据变量个数画出相应的卡诺图；,2）.将函数化为最小项之和的形式；,3）.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1，其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,2.3.4 逻辑图,波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。,缺点：,难以

14、用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。,2.3.5 波形图,2.2.6 逻辑函数各种表示方法间的相互转换,1.真值表,函数式,逻辑图,例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A)和两名副裁判(B、C)中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。,(1)真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数 Y=1 的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。,函数式,卡诺图化简,1,1,0,1,0,0,0,0,(2)函数式,逻辑图,A,B,Y,C,真值表,函数式,2.逻辑图,2.4 逻辑函数的化简方法,2.4.1 关于逻辑函数化简的几个问题,1.化简

15、的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少,卡诺图法,代数法,2.化简的方法,2.4.2 逻辑函数的代数化简法,1.并项法:,例,例,2.吸收法：,例,例,例,3.消去法：,例,例,4.配项消项法：,或,或,例,例,冗余项,综合练习：,利用卡诺图化简逻辑函数,几何相邻：,相接 紧挨着,相对 行或列的两头,相重 对折起来位置重合,逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量不同,化简方法：,卡诺图的缺点：,函数的变量个数不宜超过 6 个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,1.卡诺图中最小项合并规律：,(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4

16、,6,(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子,总结：,2、用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,例,1,1,1,1,1,1,1,1,解,画包围圈的原则：,(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好

17、。,(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(4)必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2)合并最小项：画包围圈,(3)写出最简与或 表达式,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2)合并函数值为 0 的最小项,(3)

18、写出 Y 的反函数的 最简与或表达式,2.4.4 具有无关项的逻辑函数的化简,1.无关项（约束）的概念和约束条件,(1)约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的 升、降、停 命令。,A=1 表示升，B=1 表示降，C=1 表示停。,ABC 的可能取值,(2)约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,(3)约束条件：,(2)在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2.

19、约束条件的表示方法,(1)在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值为,3.具有约束的逻辑函数的化简,例 化简逻辑函数,化简步骤:,(1)画函数的卡诺图，顺序 为：,先填 1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2)合并最小项，画圈时 既可以当 1，又可以当 0,(3)写出最简与或表达式,解,例 化简逻辑函数,约束条件,解,(1)画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2)合并最小项,(3)写出最简与或表达式,合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,第二章 小结一、常用逻辑关系及运

20、算,1.三种基本逻辑运算：,与、或、非,2.四种复合逻辑运算：,与非、或非、与或非、异或,二、逻辑代数的公式和定理,是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，摩根定理最为常用。,真值表 函数式 逻辑符号,练习 求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。,解,三、逻辑函数常用的表示方法：,真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。,它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤其是由真值表 逻辑图 和 逻辑图 真值表，在逻辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。,四、逻辑函数的化简法,化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成

21、本低、可靠性高。化简的方法主要有公式化简法和图形化简法两种。,1.公式化简法：,可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，并要求具有一定的运算技巧和经验。,2.图形化简法：,简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。但是，当函数的变量个数多于六个时，就失去了优点，没有实用价值。,约束项：（无关项）,可以取 0，也可以取 1，它的取值对逻辑函数值没有影响，应充分利用这一特点化简逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。,练习 用公式法将下列函数化简为最简与或式。,练习 用图形法将下列函数化简为最简与或式。,（1）画函数的卡诺图,（2）合并最小项：画包围圈,（3）写出最简与或表达式,1,1,1,1,1,1,1,1,解,1,1,（1）画函数的卡诺图,（2）合并最小项：画包围圈,（3）写出最简与或表达式,1,解,1,1,1,1,