通信原理课件第六章数字信号的最佳接收.ppt
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1、指导教师:杨建国二零零七年十一月,通信原理课件,第六章 数字信号的最佳接收,6.1 数字信号接收的统计表述 6.2 最小平均风险准则(贝叶斯判决准则)6.3 最小错误概率准则 6.4 最大输出信噪比准则 6.5 数字基带系统的最佳化,6.1 数字信号接收的统计表述,6.1.1 二元通信系统的假设检测二元通信系统假设检测的基本原理图如图6-1所示。,图6-1 二元通信系统假设检测的基本原理图,设在发送端发射机之后产生的二元信号为s0(t)和s1(t),它们为持续时间T的确知基带信号或频带信号。信号通过信道传输时,假定混入了加性噪声n(t),在接收端收到的信号y(t)应该是信号和噪声之和。我们用H
2、0和H1分别表示零假设和备择假设,其意义分别表示s0(t)和s1(t)信号的存在,先验概率分别为P(H0)和P(H1)。假设为H0时,接收信号为,y(t)=s0(t)+n(t)0tT,假设为H1时,接收信号为,y(t)=s1(t)+n(t)0tT,接收机的任务是根据(0 T)时间内对y(t)的观测数据和判决准则做出哪一个信号存在的判决。若判决为D1,表示假设H1的存在;若判决为D0,表示假设H0的存在。,6.1.2 似然函数若令s1(t)=1,s0(t)=-1,在t=t0时刻进行一次观察,则接收信号为假设为H1时,y(t0)=s1(t0)+n(t0)=1+n(t0)假设为H0时,y(t0)=s
3、0(t0)+n(t0)=-1+n(t0)n(t0)是均值为0,方差为的高斯随机变量。所以,y(t0)也是一个高斯随机变量,只是不同假设时,均值不同。,在假设为H1时,Ey(t0)=1,条件概率密度函数为,(6-1),在假设为H0时,Ey(t0)=-1,条件概率密度函数为,(6-2),f(y/H1)和f(y/H0)称为似然函数。,在0,T时间内对接收信号y(t)进行N次抽样,称为多次观察,接收信号的N维空间矢量(观测空间)用Y表示,则,(6-3),6.1.3 虚报概率和漏报概率二元假设所得的似然函数依然是高斯分布,对于一次观测假定已找到判决点y0,如图6-2所示。把yy0的部分划为z1判决域;把
4、yy0的部分划为z0判决域.根据两种假设H1、H0及两种检验结果D1、D0,接收判决必然存在四种可能情况:假设为H0,检验结果为D0,正确判决,条件概率为P(D0/H0);假设为H0,检验结果为D1,错误判决,条件概率为P(D1/H0);假设为H1,检验结果为D0,错误判决,条件概率为P(D0/H1);假设为H1,检验结果为D1,正确判决,条件概率为P(D1/H1)。,图6-2 一次判决的似然函数及判决域,四种条件概率可分别表示为,(6-4),由此可见,二元检测产生两类错误,第一类错误是将H0判为D1,其条件概率用P(D1/H0)表示,通信中通常称其为虚报概率;第二类错误是将H1判为D0,其条
5、件概率用P(D0/H1)表示,称其为漏报概率。,在双择一检测问题中,通常有,P(D1/H1)=1-P(D0/H1)P(D1/H0)=1-P(D0/H0),上述两类错误带来的平均错误概率为,Pe=P(H0)P(D1/H0)+P(H1)P(D0/H1),(6-5),因为P(H1)=1-P(H0),所以平均错误概率也可以表示为,Pe=P(H0)P(D1/H0)+1-P(H0)P(D0/H1),(6-6),当H1和H0等概出现时,P(H1)=P(H0)=1/2,这时,(6-7),6.1.4 信号检测模型图6-3是信号统计检测模型。接收机根据不同的判决准则把观测空间划分为两个区域z0和z1。一旦判决域确
6、定后,由于在观测空间内的结点是随机变化的,因此就有可能产生错误。当假设为H0时,而Y落到z1判决域内,就要产生第一类错误,概率为,(6-8),假设为H1时,而Y落到z0判决域内,就要产生第二类错误,概率为,当我们得到虚报概率P(D1/H0)和漏报概率P(D0/H1)以及先验概率P(H0)和P(H1)后,就可以利用式(6-5)求出系统的平均错误概率Pe。,图6-3 信号统计检测模型,6.2 最小平均风险准则(贝叶斯判决准则),(6-10),其中,P(DiHj)表示假设为Hj,判决为Di的联合概率;Cij表示假设为Hj,判决为Di所付出的代价。应用贝叶斯公式,P(DiHj)=P(Hj)P(Di/H
7、j),(6-11),代入式(6-10),得,=C00P(H0)P(D0/H0)+C10P(H0)P(D1/H0)+C01P(H1)P(D0/H1)+C11P(H1)P(D1/H1),(6-12),(6-13),B称为似然比门限。将y0=yB代入式(6-13)就可以得到最小平均风险。,(6-14),贝叶斯判决准则可以用似然比形式表示为,(6-15),由于(x)和B都是正数,上式也可以用对数表示,(6-16),N维观测时的贝叶斯判决准则和一维观测具有相似的结果,即,(6-17),或用对数表示为,(6-18),6.3 最小错误概率准则,在数字通信系统中的最佳接收机一般是在最小错误概率准则下建立的。在
8、数字通信系统中,我们期望错误接收的概率愈小愈好,因此采用最小错误概率准则是直观的和合理的。当取贝叶斯判决准则中的C00=C11=0、C01=C10=1时,说明通信系统对正确判决无需付出代价,而错误的判决应付出的代价相同,亦即虚报概率和漏报概率所造成的后果是相同的。于是,系统的误码率应为,(6-19),其中,(6-20),最小错误概率准则应写为,(6-21),或用对数表示为,(6-22),式中0称为门限似然比。,6.3.1 确知信号的最佳接收1.最佳接收机结构为了突出重点,对二进制确知信号和噪声做以下假设:假设为H0时,y(t)=s0(t)+n(t)0tT假设为H1时,y(t)=s1(t)+n(
9、t)0tT这里s0(t)和s1(t)可以是基带信号,s0(t)=s0和s1(t)=s1均为常数;s0(t)和s1(t)也可以是频带信号,s0(t)和s1(t)均为已调信号。,噪声n(t)为高斯白噪声,均值为0,方差为,单边功率谱密度为n0。要建立的最佳接收机是在噪声干扰下,以最小差错概率准则,在观察时间(0,T)内,检测判决信号的接收机。根据假设及对设计接收机的要求,推算如下。,对s0(t)和s1(t)抽样N次,N次抽样后的随机变量仍然是方差为的高斯分布,但每次抽样的均值不同,分别记作s0k和s1k,于是得到N次抽样后的似然函数为,(6-23),似然函数比为,(6-24),为了对连续波进行检测
10、,在码元周期T=N(t)保持不变的情况下,使抽样间隔无穷小t0,抽样次数就会变成无穷大N,同时信道带宽B=1/2(t),这是理想信道情况。此时噪声功率=n0B=n0/2(t)。于是得到式(6-24)中各项的极限值,将其代入式(6-24)并按式(6-22)取对数后可写为,(6-25),令,(6-26),称为判决门限电平。于是,式(6-24)可写为,VT,(6-27),对于2PSK和2FSK信号,当1、0等概出现时,0=1,ln0=0。并且当1、0码信号的能量相等时,,可见,对于等概等能量信号用最小概率准则判决时,其判决门限电平VT=0。,图6-4 二进制确知信号最佳接收机结构,针对以上结果予以讨
11、论:(1)从最佳接收机结构来看,它是由两路相关器(包括乘法器和积分器)、相加器、比较器和判决器组成的,因此通常称其为相关接收机。(2)判决门限VT与信号s0(t)和s1(t)、噪声n(t)、判决准则、先验概率有关,当信号先验等概率、等能量时,VT=0,接收机判决准则可简化为,(6-28),其结构模型如图6-5所示。(3)相关器可用匹配滤波器代替(将在6.4节介绍)。(4)判决时刻应选在T时刻,如果偏离此时刻,将直接影响判决效果,从而影响接收机最佳性能。,图6-5 二进制确知信号等概率、等能量时的最佳接收机结构模型,2.二进制确知信号最佳接收机性能误码有两种情况,一种是发送端发送s1(t)信号,
12、此时y(t)=s1(t)+n(t),而判决时又满足,被判决为s2(t)。此情况误码率用Ps1(s2)表示,它表示发送s1(t)条件下,判为出现s2(t)的概率。同理,当发送s2(t)信号时,y(t)=s2(t)+n(t),而又满足,y(t)被判为s1(t),误码率用Ps(s)表示,它表示发送s2(t)条件下,判为出现s1(t)的概率。Ps1(s2)和Ps(s)的分析推导过程相同,下面仅给出Ps1(s2)的推导过程。,当发送端发出s1(t)时,接收到的波形为y(t)=s1(t)+n(t),设式(8-12)左边为v1,则,(6-29),式中,是s1(t)、s2(t)信号能量,是s1(t)和s2(t
13、)的互相关系数,可表示为,(6-30),从以上推导和式(8-12)可以看出,求发送s0(t)而被判成s1(t)的概率为Ps0(s1),也就是求v0VT的概率。因此,只要求出v0的概率密度函数f(v0),再对f(v0)在VT到积分,即得Ps1(s2)。因为s0(t)、s1(t)为确知信号,E、也可求出,n(t)又是高斯白噪声,故可根据“高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程”的结论得到v0是一个高斯变量,只要确定了它的均值Ev0=mv0 和方差Dv0=,就可写出f(v0)。,因为前已假设噪声的均值En(t)为0,故,(6-31),对于高斯白噪声,故,(6-32),从而,(6-33),(6-34)
14、,把式(6-31)、(6-32)、(6-26)和(6-33)代入式(6-34),化简整理得,上式中,同理,若发送端发出s1(t),y(t)=s1(t)+n(t),设v1等于此时式(6-27-12)左边,可求得Ps1(s0)为,上式中,满足式(6-27)且等能量的接收机平均误码率为,(6-35),下面对式(6-35)进行讨论:(1)Pe与信号的先验概率P(s0)、P(s1)、信号的能量E和s0(t)与s1(t)的相关性有关,还与噪声的功率谱密度n0有关,与s0(t)与s1(t)本身结构无关。,(6-36),此时的Pe是最大的,也即先验等概时的误码率大于先验不等概时的误码率。图8-5画出式(8-2
15、2)所示曲线,并同时画出P(s0)/P(s1)=10或0.1情况下的曲线。实际中,先验概率P(s0)、P(s1)不易确知,故常选择先验等概的假设,并按图6-5设计最佳接收机结构。,(2)当P(s0)/P(s1)=0或,即P(s0)=0,而P(s1)=1或P(s1)=0,而P(s0)=1时,由式(6-21)看出,几将等于零,因为此时意味着接收端预先知道了发送的是什么,故不会有错误发生;(3)当P(s0)=P(s1)时,可求得,图 6-6 Pe与关系曲线,3.几种二进制确知信号的性能 从图6-6可见,E增加或者n0减小都可使Pe减小,亦即改善接收质量。另一个影响Pe的因素是互相关系数,它代表信号s
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