通信原理第3章随机过程.ppt

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1、1,第3章 随机过程,通信中的信号和噪声都具有随机性，需要用随机过程的理论来描述。是本课程的重要数学工具。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,3.5 窄带随机过程,3.3 高斯随机过程,3.2 平稳随机过程,3.1 随机过程的基本概念,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,2,3.1随机过程的基本概念,什么是随机过程1.无穷多个样本函数xi(t)的集合称作随机过程。2.随机过程可视为无穷多个随机变量(ti)的集合。,3,3.1.1 随机过程的分布函数,随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率 简记为F1(x1,t1)，即 称为随机过程(t)的一维分布函数,设(t)表

2、示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。随机过程的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。,4,如果存在称 为随机过程 的一维概率密度函数,同理，任给t1,t2,tnT,则(t)的n维分布函数被定义为：,n维概率密度函数被定义为,5,随机过程的数学期望,随机过程的方差(variance)：,6,相关函数(correlation function)：描述随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的相关程度。,式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。,7,互相关函数 式中(t)

3、和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。,8,1.和的平均等于平均的和 E(XY）E(X)E(Y)2.若X、Y相互统计独立，则积的平均等与平均的积 E(XY)E(X)E(Y)3.随机变量X的函数g(X)的平均式中 是随机变量X的概率密度函数。4.确知函数可视为常数若 是确知函数，则,补：进行统计平均运算时常用到的一些公式,9,3.2平稳随机过程,狭义平稳（或严平稳）随机过程 广义平稳（或宽平稳）随机过程 平稳随机过程的“各态历经性”平稳随机过程的自相关函数 平稳随机过程的功率谱密度,10,定义：平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何n维分布函数

4、或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数 平稳随机过程 的n维概率密度函数满足：称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）。,3.2.1 平稳随机过程的定义,11,性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：二维分布函数只与时间间隔=t2 t1有关：数字特征：,12,数字特征：（1）其均值与t 无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足(1)和(2)的过程定义为广义平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，

5、大多数可视为平稳的随机过程。除特别声明，课程所讨论的均为广义平稳随机过程。,13,平稳过程在满足一定的条件下具有一个特性，称为“各态历经性”(又称“遍历性”)。具有各态历经性的过程，其数字特征（统计平均）可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,3.2.2 各态历经性,14,各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现(样本)，则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。,15,具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,16,3.2.3 平稳过程的自相关函

6、数,平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质(t)的平均功率 的偶函数 R()的上界,即自相关函数 R()在=0有最大值。(t)的直流功 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0)=2。,17,3.2.4 平稳过程的功率谱密度,定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为,18,功率谱密度的计算 维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 简记为 以上关系称为维纳-辛钦关系。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,19,在维纳-辛钦关系的基础上，可得到结论：对功率谱密度进

7、行积分，可得平稳过程的平均功率：从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即有,20,3.3 高斯随机过程（正态随机过程）,3.3.1 定义 如果随机过程(t)的任意n维(n=1,2,.)分布均服从正态分布，则称为正态过程或高斯过程。3.3.2 重要性质广义平稳的高斯过程也是严平稳的。高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。,21,如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有j k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为 这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。,22,定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随

8、机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中 a 均值 2 方差 曲线如右图：,3.3.3 高斯随机变量,23,性质f(x)对称于直线 x=a，即 a表示分布中心，称为标准偏差，表示集中程度，图形将随着 的减小而变高和变窄。当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：,24,正态分布函数该积分的值无法用闭合形式计算，通常利用其它特殊函数，用查表的方法求出：用误差函数表示：令则有及 式中 误差函数，可查表求值。,25,用互补误差函数erfc(x)表示正态分布函数：式中 当x 2时，,26,用Q函数表示正态分布函数：Q函数定义：Q函数和erfc函数的关系：Q函数和分布函数F(x)的关系：Q函数值

9、也可以从查表得到。,27,输出过程o(t)的均值(数学期望E0(t),设输入过程是平稳的，则有,H(0)是系统在 f=0处的频率响应(直流增益)。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,输出过程o(t)的自相关函数R0(t1,t1+),结论：自相关函数只依赖时间间隔若线性系统的输入是平稳的，那么输出也是平稳的,28,输出过程o(t)的功率谱密度,结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。,输出过程o(t)的概率分布,如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程,29,窄带随机过程的表示式式中，a(t)随机包

10、络(t)随机相位 c 中心角频率显然，a(t)和(t)的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。,3.5 窄带随机过程,窄带随机过程,30,窄带随机过程表示式展开可以展开为(t)的同相分量(t)的正交分量,结论之一：一个均值为零的窄带平稳高斯随机过程，它的同相分量C(t)和正交分量S(t)同样是平稳高斯随机过程，而且均值都为零，方差也相同，且等于(t)的方差。另外，在同一时刻上得到的C、S是不相关的或统计独立的。,结论之二：一个均值为零的平稳高斯窄带过程，其包络 的一维分布是瑞利分布，相位 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络与相位是统计独立的。,31,式中为窄带高斯过程，其均值

11、为零。,设合成信号为,(3.6-1),3.6 正弦波加窄带高斯噪声,32,相位随机变量为,信号r(t)的包络为,33,（1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比=r0时，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（3.6-8）近似为式（3.5-20），即由莱斯分布退化为瑞利分布。,（3.6-8）,34,（2）当信噪比r很大时，有I0(x)，这时在zA附近，f(z)近似于高斯分布，即 即：信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 3-5(a)给出了不同的r值时f(z)的曲线。,（3.6-8）,35,3.

12、7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声n(t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数,白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：,这说明，白噪声只有在=0时才相关,36,白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即 或真正“白”的噪声是不存在的。只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。,37,低通白噪声,定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。自相关函数,38,定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度 设理想带通滤波器的传输特性为式中:fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为,带通白噪声,39,窄带高斯白噪声,通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。平均功率,