3.1.1空间向量及其加减数乘运算.ppt

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1、空间向量及其运算,空间向量,1、定义：,既有大小又有方向的量。,基本概念,A,B,2、长度或模：,向量的大小,记作：,3、零向量：,长度为零的向量。,记作：,4、单位向量：,长度为1的向量。,5、相反向量：,与向量,长度相等而方向,相反的向量，称为,的相,反向量。,记作：,6、相等向量：,方向相同且模相等的向量。,2、平面向量的加法、减法,向量加法的三角形法则,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。,3、平面向量的加法、减法,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相

2、等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,O,A,B,C,空间向量的加减法,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。,思考：它们确定的平面是否唯一？,思考：空间任意两个向量是否可能异面？,平面向量,概念

3、,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,加法交换律,加法:三角形法则或平行四边形法则,减法:三角形法则,加法结合律,成立吗？,O,B,C,O,B,C,(平面向量),向量加法结合律在空间中仍成立吗?,A,A,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),向量加法结合律：,空间中,平面向量,概念,加法减法数乘运算,运算律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,小结

4、,加法交换律,加法结合律,类比思想 数形结合思想,例1:已知平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图),始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例如:,定义:,空间向量的数乘运算,r,大小：,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,例2:已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E,F分别是BC，CD的中点。化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图),若P为A,B中点,则,向量参数表示式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点

5、P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,3.共面向量,平行于同一平面的向量，叫做共面向量,空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面。,探究,对空间任意两个不共线的向量，如果，那么向量 与向量 有什么位置关系？反过来，向量 与向量 有什么位置关系时，？,3.共面向量,若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,A,B,C,P,O,思考：1.类似于利用向量判断三点共线，如何利用向量判断四点共面？,思考：2.已知空间一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式的点P与点A,B,C是否共面？,例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，求证：（1）E、F、G、H 四点共面；（2）平面AC/平面EG,小结作业,1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上.,2.空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据.,3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.,