3.1二维随机变量的概率分布.ppt

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1、3.1 二维随机变量的概率分布,3.2 边缘分布,3.4 随机变量的独立性,3.3 条件分布,第三章 随机向量及其分布,同一维随机变量一样,为了把某些试验的结果数量化,有时需要用二维随机变量或二维随机向量(X,Y)来描述如,二维随机向量,实例1 炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.,实例2 考查某一地区学龄前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).,定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。,思考：根据这个定义，上例中张三的身高X和李四的体重Y

2、能构成二维随机向量(X,Y)吗？,一、二维随机变量的分布函数,二、二维离散型随机变量及其分布,三、二维连续型随机变量及其分布,3.1 二维随机变量的概率分布,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.为此，我们引入二维随机变量的分布函数,定义1 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数 x,y,称二元函数,为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或X和Y的联合分布函数,一、二维随机变量的分布函数,及点(x2,y2)的概率分别为,的x1,y1,x2,y2(x1x2,y1y2),随机点(X,Y)落在矩形域,借助右图,可知对于任意,由上述解释及概率的定义，容易推

3、得下述定理,定理1,分布函数 F(x,y)具有下列性质：,1（有界性）对任意的实数 x,y,有,2（单调性）F(x,y)是 x 和 y 的单调不减函数:,3（右连续性）F(x,y)关于 x 和 y 都是右连续的:,反过来,满足上述性质的 F(x,y)也必定是某个二维随机变量的分布函数,因此：函数 F(x,y)完整地描述了二维随机变量的概率分布,若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量,二、二维离散型随机变量及其分布,则称此为(X,Y)的分布律,或X与 Y 的联合分布律,同一维一样,二维随机变量的分布律满足：,通常我们用分布律表示二维随机变量的概

4、率分布.,二维随机变量,(X,Y)的分布律也可用表格表示为：,有了二维离散型随机变量的分布律 pij,就能容易的得到,例,(X,Y)所取的可能值是,解,从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.,故所求分布律为,例1,解,由乘法公式得,三、二维连续型随机变量及其分布,与一维连续型随机变量的定义类似，我们引入,同样，二维连续型随机变量也有与一维类似的如下性质,定理2,二维连续型随机变量的分布密度 f(x,y)和分布函数 F(x,y)具有下列性质：,定理2表明：在几何上,z=f(x,y)表示空间的一张曲面,介于该曲面与 xOy 平面之间空间区域的体积等于1.,通常我们用分布密度表示二维连续型随机变量的概率分布.,例2,解,设平面区域D的面积为A0,二维随机变量(X,Y)在D上取值且在D上分布均匀(即密度为常数)，则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,显然在D上服从均匀分布的二维随机变量(X,Y)的密度函数（如图）为,均匀分布,