自动控制原理第三章.ppt

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1、第三章 线性系统的时域分析法,3.1 线性系统时间响应的性能指标3.2 一阶系统的时域响应3.3 二阶系统的时域响应3.4 高阶系统的时域响应3.5 稳定性分析3.6 稳态误差计算,分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。线性系统：,时域分析法，,根轨迹法，,频率法,非线性系统：,多输入多输出系统：,描述函数法，,相平面法,采样系统：,Z 变换法,状态空间法,3-1 线性系统时间响应的性能指标,3.1.1典型输入信号,动态性能，静态性能。动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系

2、统的性能进行比较的基准-典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。,1,考查系统对恒值信号的跟踪能力,A=1，称单位斜坡函数,记为 t1(t),2.斜坡函数（等速度函数）,考查系统对匀速信号的跟踪能力,3.抛物线函数（等加速度函数）,A=1，称单位抛物线函数,记为,考查系统的机动跟踪能力,4.脉冲函数,各函数间关系：,（5）正弦函数,二.阶跃响应的时域性能指标,c(t)=ct(t)+css(t)=暂态响应+稳态响应,1.暂态性能指标,图32,(1)延迟时间td：c(t)从0到0.5c()的时间。,(2)上升时间tr：c(t)第一

3、次达到c()的时间。无超调时,c(t)从0.1 c()到0.9 c()的时间。,(3)峰值时间tp：c(t)到达第一个峰值的时间,(4)调节时间ts：c(t)衰减到与稳态值之差不超过2%或5%所需的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号表示，即=2%或=5%。,(5)超调量s%：c(t)最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述的系统的平稳性。,2.稳态性能指标 稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即,最后一节细讲。,凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,TRC，时间常数。其典型传递函数及结构图为：,3.2 一阶系统的时域分析,T 2T 3T 4T,当输入信号r(t)=1(t)时

4、，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。,3.2.1 单位阶跃响应,响应曲线在0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡,0.632,0.95,0.982,0.865,1.0,一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：c(ts)1=(取5%或2%),一阶系统响应具备两个重要的特点：可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。响应曲线的初始斜率等于1/T。,T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。,3.2.2 单位斜坡响应 r(t)=t,r(t)=t,c(t)=t T+Tet/T,稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时

5、间常数T的斜坡函数。,T,T,稳态分量（跟踪项+常值）,暂态分量,表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：,在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪 在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。,3.2.3单位脉冲响应 R(s)=1,它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。,求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲

6、输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。,对应,线性定常系统的重要性质,2.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。,1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。,p.213,3.3.1 二阶系统的数学模型 标准化二阶系统的结构图为：,闭环传递函数为,二阶系统有两个结构参数(阻尼比)和n(无阻尼振荡频率)。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。,3.3 二阶系统的时域分析,微分方程式为：,对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。,

7、例如:RLC电路,3.3.2二阶系统的闭环极点,二阶系统的闭环特征方程，即 s 2+2n s+n2=0,其两个特征根为：,上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比 的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：,s1,s2,1 时，特征根为一对不等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。,(3)0 1 时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面 的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。,(2)=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s 平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。,s1=s2=n,n,s1,s2,jd,n,(

8、4)=0 时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。,jn,(5)0 时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。,s1,s2,阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布,1,=1,0 1,=0,3.3.3单位阶跃响应,由式,，其输出的拉氏变换为,式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。,对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。,（1）欠阻尼情况 01,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

9、由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率d，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数 和n决定。(2)无阻尼情况=0,1,衰减振荡,等幅振荡,（3）临界阻尼情况=1 s1,2=n,此时响应是稳态值为1 的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t 0变化率为正，c(t)单调上升；t，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差0。,1,（4）过阻尼情况 1,响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）,（5）不稳定系统 0,总结：1）1时，响应

10、与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；3）0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）01时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理选择可使既快又平稳，工程上把0.707的二阶系统称为二阶最优系统；,Mp,3.3.4 二阶系统的动态性能指标,1.欠阻尼,用tr,tp,Mp,ts 四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。,1,0.5,0.05或0.02,tr,tp,ts,td,(1)上升时间tr：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr 越小，响应越快。,(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。,(3)超调量Mp：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，

11、用百分比表示。,Mp只是 的函数，其大小与自然频率n无关。Mp,(4)调节时间ts：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。c(t)c()c()(t ts),工程上，当0.1 0.9 时，通常用下列二式近似计算调节时间。,=5%c(),=2%c(),总结：,各性能指标之间是有矛盾的。,例3-1单位负反馈随动系统如图所示,(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标。解:(1)系统的闭环传递函数为,与典型二阶系统比较可得：K/T=n2 1/T=2n,(2)K=16，T=0.25时,(=0.05),K/T=n2 1/

12、T=2n,例3-2已知单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试求系统的开环传递函数。,解：由系统的单位阶跃响应曲线，直接求出超调量和峰值时间。Mp=30%tp=0.1,求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二阶系统的开环传递函数为,G(s)，H(s)一般是复变量s 的多项式之比，故上式可记为,3.4高阶系统的时域分析,3.4.1高阶系统的阶跃响应 控制系统的基本结构如图所示。,其闭环传递函数为,式中0 k 1。即系统有q 个实极点和r 对共轭复数极点。称为系统闭环特征根，或闭环极点。,根据能量的有限性，分子多项式的阶次m不高于分母多项式的阶次n。对上式进行因式分

13、解，可以表示为,取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：,于是，系统单位阶跃响应的拉氏变换：,式中；k=arccos k；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。,上式表明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。3.4.2闭环主导极点 1）高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由 pi，kn决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快。2）各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定。3）系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。,4）对系统瞬态响应起主导作用的极点，称

14、为闭环主导极点。条件：1 距离s平面虚轴较近，且周围没有其它的闭环极点和零点；对应的暂态分量衰减缓慢，起主要作用。不会构成闭环偶极子，产生零极点相消现象。2 其实部的绝对值比其它极点小5倍以上。应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估。一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计。,3.5线性系统的稳定性分析 稳定性是对系统的基本要求，探讨系统的稳定条件，提出保证系统稳定的措施。,3.5.1稳定的概念和定义,如果系统受到有界扰动，不论扰

15、动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。,线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。3.5.2线性系统的稳定条件 线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，

16、而与输入信号无关。根据定义输入扰动(t)，设扰动响应为Cn(t)。如果当 t时，Cn(t)收敛到原来的平衡点，即有,那么，线性系统是稳定的。不失一般性，设n 阶系统的闭环传递函数为,线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。,线性系统的代数稳定判据 首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的

17、闭环特征方程为,式中，si（i=1,2,n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论（韦达定理），下列关系式成立：,从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：ai aj 0(i,j=1,2,n)即，闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判据 系统稳定的充要条件是：特征方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都为正。若不满足，则不稳定 劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。,表中：1

18、）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作 用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。,a0 a2 a4 a1 a3 a5 b1 b2 b3 an,snsn1 sn2 s1 s0,劳斯表的构造：,2.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性 例3-3 设有下列特征方程 D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表,第一列元素 符号改变了2次，系统不稳定，且s 右半平面有2个根。,s4s3s2s1s0,1 3 52 4,6,1,5,5,例3-4 系统的特征方程为

19、D(s)=s3 3s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为,第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：,s3s2s1s0,1 3 0 2,用一个很小的正数 来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。,0+时，b1 0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次系统有两个正根，不稳定。,用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s3 3s2 7s+6=0,s3s2s1s0,1 3 0()2,2,s4s

20、3s2s1s0,1 3 6 3 7 2/3 6 20 6,会得到相同的判断结果,例3-5 设某线性系统的闭环特征方程为 D(s)=s4+s3 3s2 s+2=0 试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下,第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在关于原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：,s4s3s2s1s0,1 3 2 1 1 2 2 0 0,由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，系统有两个正根，系统不稳定。通过解辅助方程可求出关于原点对称的根：s1=1 和 s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为 s3=1 和 s4=2

21、。,用全零行的上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。,s4s3s2s1s0,1 3 2 1 1 2 2,4 2,F(s)=2s2+2 F(s)=4s,（2）分析参数变化对稳定性的影响 例3-6 已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。,解：系统特征方程式 s3+3s2+2s+K=0,要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0 K 6,s3s2s1s0,1 2 3 K(6 K)/3 K,（3）确定系统的相对稳定性,例3-7 检验多项式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s 右半平面，并检验有几个根在垂直线 s=1的右边？,解：1

22、),劳斯表中第一列元素均为正系统在s 右半平面没有根，系统是稳定的。,2)令 s1=s 1 坐标平移，得新特征方程为 2 s13+4 s12 s1 1=0,s3s2s1s0,2 13 10 412.2 4,劳斯表中第一列元素不全为正，且第一列元素符号改变了一次，故系统在s1 右半平面有一个根。因此，系统在垂直线 s=1的右边有一个根。,s13s12s11s10,2 1 4 10.5 1,3.6线性系统的误差分析,3.6.1误差的基本概念,1.误差的定义 误差的定义有两种：从系统输入端定义，它等于系统的输入信号与反馈信号之差，即误差（偏差）E(s)=R(s)B(s),从系统输出端定义，它定义为系

23、统输出量的期望值与实际值之差。Eo(s)=R(s)C(s)对于单位反馈系统，两种定义是一致的。2.两种定义的关系,由图可知，R(s)表示等效单位反馈系统的输入信号，也就是输出的期望值。因而，E(s)是从输出端定义的非单位控制系统的误差。E(s)=R(s)B(s)=R(s)H(s)C(s),由此可见，从系统输入端定义的稳态误差，可以直接或间接地表示从系统输出端定义的稳态误差。,3.稳态误差ess定义：,例3-8设单位反馈控制系统的开环传函为：,当 r(t)=t2/2 R(s)=1/s3解法一：,试求当输入信号分别为r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，r(t)=t，r(t)=sint 时，控制

24、系统的稳态误差。解：,终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,解法二：,e(t)=T(tT)+T2 e t/T,(2)当 r(t)=1(t)R(s)=1/s,(3)当 r(t)=t R(s)=1/s2,(4)当r(t)=sint R(s)=/(s2+2),终值定理的条件不成立！,终值定理的条件：除原点外，在虚轴及s平面的右半平面无极点。,3.6.2 给定作用下的稳态误差计算,不失一般性，闭环系统的开环传递函数可写为：,=0 称为 0 型系统；=1 称为型系统；=2 称为型系统。等等,在一般情况下，系统误差的拉氏变换为：,1.阶跃输入作用下的稳态误差,令,称为系统的静态位置误

25、差系数,0 型系统：Kp=K ess=A/(1+K)型及型以上系统：Kp=ess=0,2.单位斜坡输入作用下的稳态误差,令,静态速度误差系数,0 型系统：Kv=0 ess=，0型系统无法跟踪斜坡输入 型系统：Kv=K ess=B/K，有差跟踪型及型以上系统：Kv=ess=0，无差跟踪,3.加速度输入作用下的稳态误差,令,静态加速度误差系数,0 型系统：Ka=0 ess=型系统：Ka=0 ess=型系统：Ka=K ess=C/K 型及型以上系统：Ka=ess=0,阶跃、斜坡、加速度输入作用下的稳态误差,r(t)=Ct2/2,r(t)=B t,r(t)=A1(t),静态误差系数,系统型别,ess=

26、C/Ka,ess=B/Kv,ess=A/(1+Kp),Kp Kv Ka,A/(1+K),K 0 0,0,C/K,0,0,K,2,B/K,0,K 0,1,例3-9 已知两个系统如图所示，当参考输入 r(t)=4+6 t+3t 2，试分别求出两个系统的稳态误差。,解：图（a），型系统 Kp=，Kv=10/4，Ka=0,图（b），型系统Kp=，Kv=，Ka=10/4,3.6.3 扰动作用下的稳态误差 所有的控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用之下。因此，系统在扰动作用下的稳态误差数值，反映了系统的抗干扰能力。计算系统在扰动作用下的稳态误差，同样可以采用拉氏变换终值定理。例3-10 控

27、制系统如图,H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)试求系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差。,解：（1）单位阶跃给定作用下的稳态误差:系统是型系统：Kp=ess=0（2）单位阶跃扰动作用下的稳态误差。系统误差的拉氏变换为,系统结构稳定，且满足终值定理的使用条件。扰动单独作用时稳态误差为,（3）根据线性系统的叠加原理，系统在单位阶跃给定和单位阶跃扰动共同作用下的稳态误差为,3.6.4 提高系统控制精度的措施,上面的分析和例题可知：通过调整系统的结构和参数，可以提高系统精度，比如：增加积分环节的个数或增大开环放大倍数；但积分环节个数一般不能超过2个，K也不

28、能任意扩大，否则会造成动态品质变差，甚至造成系统不稳定。解决的办法是引入与给定或扰动作用有关的附加控制作用，构成复合控制系统。,例3-8 控制系统结构图如图所示。图中 试确定补偿通道的传递函数，使系统在单位斜坡给定作用下无稳态误差。,解：系统误差的拉氏变换为(根据梅逊公式),第三章 线性系统的时域分析法小 结,1 基本知识点 A 各阶系统的数学模型及典型阶跃输入下的时域响应的特点，特别是二阶系统动态性能指标的计算p106；B 劳斯稳定判据p121；C 稳态误差的定义及计算！p126；D 改善动态性能及提高精度的措施p129；,第三章 线性系统的时域分析法,2有关例题,二、设某系统的特征方程式为，求其特征根，并判断系统 的稳定性。,三、控制系统方块图如图所示：,四、(10分)在如图所示的系统中,、n(t)=4t。求系统的稳态误差。,谢 谢！,