2.9导数的概念及运算.ppt

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1、要点梳理1.导数的概念 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0(a,b),若 x无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导，并 称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作_.,2.9 导数的概念及运算,基础知识 自主学习,f(x0),2.导函数 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就 说f(x)在开区间(a,b)内可导，其导数也是开区间(a,b)内的函数，又称作f(x)的导函数,记作_ 或_.3.函数f(x)在x0处的导数 函数f(x)的导函数f(x)在x=x0处的函数值_ 即为函数f(x)在x0处的导数.4.导数的几何意义(1)

2、设函数f(x)在x0处可导,则它在该点的导数等于 函数所表示的曲线在相应点M(x0，y0)处的_ _.,f(x),y,f(x0),切线的,斜率,(2)设s=s(t)是位移函数，则s(t0)表示物体在t=t0 时刻的_.(3)设v=v(t)是速度函数，则v(t0)表示物体在t=t0 时刻的_.5.常用的导数公式 C=_(C为常数);(xm)=_(mQ);(sin x)=_;(cos x)=_;(ex)=_;(ax)=_(a0且a1);(ln x)=;(logax)=(a0且a1).,0,mxm-1,-sin x,cos x,ex,axln a,瞬时速度,瞬时加速度,6.导数的运算法则 f(x)g

3、(x)=f(x)g(x),Cf(x)=Cf(x)(C为常数),f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),7.复合函数求导的运算法则 一般地,设函数 在点x处有导数 函数y=f(u)在u处有导数=f(u),则复合函数 在点x处也有导数,且=_=_.,基础自测1.函数y=xcos x-sin x的导数为_.解析 y=(xcos x)-(sin x)=xcos x+x(cos x)-cos x=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.2.若f(x0)=2,则当k0时,=_.解析,-xsin x,-1,3.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式x f(x)-f(x)恒成立,

4、且常数a,b满足ab，则下列不等式不 一定成立的是_(填序号).af(b)bf(a)af(a)bf(b)af(a)0.g(x)在R上为增函数,g(a)g(b),即af(a)bf(b).,4.(2009辽宁)曲线 在点(1,-1)处的切线方 程为_.解析 所以切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.,y=-2x+1,【例1】利用导数的定义求函数 的导数.先求y,再求 最后求 解,典型例题 深度剖析,分析,跟踪练习1 利用导数的定义,求出函数 的导 数,并据此求函数在x=1处的导数.解,【例2】(2010苏州月考)求下列各函数的导数(1)(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)

5、(4)利用常见函数的导数及求导法则.解,分析,(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.方法二y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.,跟踪练习2 求下列函数的导数(1)y=x2sin x;(2)y=3xex-2x+e;(3)(4)y=sin32x.直接利用导数公式和导数运算法则求导.解(1)y=(x2)sin x+

6、x2(sin x)=2xsin x+x2cos x;,分析,(2)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln 3ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.(4)y=3(sin 2x)2(sin 2x)=6sin22xcos 2x.,【例3】(2009江苏)在平面直角坐标系xOy中,点P 在曲线C:y=x3-10 x+3上,且在第二象限内,已知曲线 C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为_.解析 设P(x0,y0)(x00),由题意知 x0=-2,y0=15.P点的坐标为(-2,15).,(-2,15),跟踪练习3(2008

7、江苏,8)直线 是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b=_.解析(ln x)=得x=2,故切点坐标为(2,ln 2),将其代入直线方程,得 所以b=ln 2-1.,ln 2-1,【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在x=2处的切线方程;(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.(1)由题意知切点为(2,4),则在(2,4)处的切 线可求.(2)过点(2,4)的切线中,(2,4)可能为切点,也可能 为另外一条切线与曲线的交点.解题示范 解(1)y=x2,在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4分,分析,

8、(2)设曲线 与过点P(2,4)的切线相切于点 则切线的斜率切线方程为 8分点P(2,4)在切线上,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,10分故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14分,跟踪练习4 若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则 k=_.解析 y=x3-3x2+2x,y=3x2-6x+2.直线和曲线均过原点,当原点是切点时,切线斜率k=y|x=0=2,当原点不是切点时,设切点为P(x0,y0),其中x00,则切线的斜率,又切点P(x0,y0)在曲线上,高考中主要以填空题的形式考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义;有时也以解答题

9、的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.1.结合实际背景理解变化率、导数的概念,导数的实 质是函数平均变化率的极限,即瞬时变化率.,思想方法 感悟提高,高考动态展望,方法规律总结,2.要深刻理解导数的定义,会用定义解题.3.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思 想方法.4.熟记几个常用函数的求导公式,提高运算速度和准 确率.5.熟练积商的求导法则,不可混淆.6.函数解析式较复杂的,可以化简的要先化简再求导.7.复合函数求导,必须搞清复合层次,不能有漏掉的环 节，要适当选取中间量，弄清每一步对哪个变量求 导,用什么公式求导.,一、填空题1.(2009广东东莞模拟

10、)曲线y=x3-1在x=1处的切线 方程为_.解析 y=f(x)=3x2,f(1)=3,切点为(1,0),切线方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0.,3x-y-3=0,定时检测,2.(2010徐州模拟)已知f(x)=x2+2xf(1),则f(0)=_.解析 f(x)=2x+2f(1),f(1)=2+2f(1),即f(1)=-2,f(x)=2x-4,f(0)=-4.3.(2009江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前 黄中学四校联考)已知函数f(x)=xex,则f(0)=_.解析 f(x)=(xex)=ex+xex,f(0)=1.,-4,1,4.(2010江苏常熟检测)设P为曲线C：y=x2

11、+2x+3上 的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 则点P横坐标的取值范围为_.解析 切线的斜率k=tan tan 0,tan=0,1.设切点为P(x0,y0),于是 x0,5.(2009山东济宁第一次月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_.解析 曲线在(4,e2)点处的切线方程为 切线与坐标轴交点分别是(0,-e2),(2,0),则切线与坐标轴围成的三角形面积,6.（2010广东四校联考）设f0(x)=sin x，f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=,nN,则 f2 010(x)=_.解析 f1(x)=(sin x)=cos x

12、,f2(x)=(cos x)=-sin x,f3(x)=(-sin x)=-cos x,f4(x)=(-cos x)=sin x,f5(x)=(sin x)=f1(x),f6(x)=f2(x),.fn+4(x)=fn(x),即周期T为4.f2010(x)=f2(x)=-sin x.,-sin x,7.（2009安徽改编）已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切 线方程是_.解析 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8.f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-

13、8x-8.将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.f(x)=x2.y=f(x)在(1,f(1)处的切线斜率为y|x=1=2.函数y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 y-1=2(x-1),即y=2x-1.,y=2x-1,8.（2010无锡模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c 的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,有f(x)0,则 的最小值为_.解析 f(x)=2ax+b,f(0)=b0,2,9.(2009江西改编)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a等于_.

14、解析 设曲线y=x3上切点为 公切线的斜率为k=或k=0,切线方程为y=(x-1)或y=0.当直线方程为y=0时,求得a=当直线方程为y=(x-1)时,求得a=-1.,二、解答题10.(2010丽水模拟)已知曲线S:y=3x-x3及点P(2,2).(1)求过点P的切线方程;(2)求证:与曲线S切于点(x0,y0)(x00)的切线与S 至少有两个交点.(1)解 设切点为(x0,y0),则 又f(x)=3-3x2,切线斜率(x0-1)(x0-1)2-3=0,解得x0=1或 相应的斜率k=0或 切线方程为y=2或,(2)证明 与曲线S切于点(x0,y0)的切线方程可设为 与曲线S的方程联立,消去y,

15、即(x-x0)2(x+2x0)=0,则x=x0或x=-2x0,因此,与曲线S切于点(x0,y0)(x00)的切线,与S至少有两个交点.,11.(2008海南、宁夏,21,(1)(3)问)设函数f(x)=ax+(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切 线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和 直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解,(2)证明 在曲线上任取一点 由f(x0)=知,过此点的切线方程为切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=

16、1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以,所围三角形的面积为定值2.,12.(2009江苏淮阴二模)设曲线C:y=-ln x(0 x 1)在点M(e-t,t)(t0)处的切线为l.(1)求直线l的方程;(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t),求S(t)的最大值.解(1)y=(-ln x)=(0 x1),在点M(e-t,t)处的切线l的斜率为-et,故切线l的方程为y-t=-et(x-e-t),即etx+y-1-t=0.,(2)令x=0,得y=t+1;再令y=0,得 从而S(t)=e-t(1-t)(1+t).当t0,1)时,S(t)0;当t(1,+)时,S(t)0,S(t)的最大值为,返回,