考研数学D8考研基础班.ppt

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1、一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,第八章 多元函数微分法,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,(1)区域,邻域:,区域,连通的开集,(2)多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,一、基本概念,1.多元函数的定义,定义域及对应规律,解:,所求定义域为:,例2.设,解:,则称常数A为函数,2.多元函数的极限,(1)定义：,是D,的聚点.,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使,得对于适合不等式,的一切点,都有,成立，,当,时的极限.,记为：,或,或记为,这里,（2）二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系,

2、不同点：,二元函数极限,的方式（路径）不同,一元函数 的方式有两种，故有,的方式是任意的，有无数个.,确定二元函数极限不存在的方法：,令P(x,y)沿y=kx趋向于,若极限值与k有关，,则可断言极限不存在；,找两种不同趋近方式，,但两者不相等，,此时也可断言f(x,y),或有的极限不存在，,共同点：,即有定义,与有极限不能互相推出.,定义方式相同.,故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到,多元函数中.,用定义只能证明极限.,在点 是否有定义并不影响极限是否存在，,联系：,由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.,所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼

3、准则；无穷小的概,念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价,无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.,但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限上.,例3.考察函数,在原点的二重极限.,例4.求极限,解:,其中,3.多元函数的连续,令,记,则,设函数z=f(x,y)的定义域为D，聚点,若,(1)定义：,（2）间断点：,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,（3）多元初等函数：,如：,所表示的多元函数，,有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子,由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过,叫多元初等函数.

4、,(4)多元函数连续性的应用-求极限,如果f(P)是初等函数，,定义域的内点，,定理:,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,例5.,求,解:,函数,是二元初等函数，,4.多元函数的偏导数,(1)定义：,（2）多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：,（3）多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：,故多元函数偏导的求法与一元函数类似.,可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用.,因此,定义方式相同,（4）偏导及高阶偏导的记号：,纯偏导,混合偏导,例6.,解:,按定义可知：,设,求,当(x,y)=(0,0)时，,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.,

5、处不可导.,轮换对称性,5.多元函数的全微分,对于二元函数,(1)可微的定义:,可微,微分：,能,是,全微分的实质：,(2)多元函数连续、可导、可微的关系,极限存在,连续,可微分,偏导数存在,偏导数连续,(3)判定函数可微的方法:,不连续,不可微.,不可导,不可微.,可微,定义法:,偏导连续,可微.,是,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,例7.选择题,(4)几个需要记住的重要函数（反例）:,（3）函数,它在(0,0)处可导、不可微、不连续.,（1）函数,（2）函数,它在(0,0)处不可微、因不可导、连续.,它在(0,0)处连续、可导、不可微.,连

6、续但不可导,可导但不连续,可导但不可微,它在(0,0)处连续.,可微,例8.讨论函数,解:由导数的定义知,在原点处连续、可导、不可微.,则,求具体显函数的偏导数,把x看成变量，,其余变量均看成常量；,把y看成变量，,其余变量均看成常量；,2)求一点处偏导数的方法：,先代后求,先求后代,利用定义,3)求高阶偏导数的方法:,逐次求导法,混合偏导数连续,与求导顺序无关,1)求偏导(函)数的方法：,二、多元函数微分法,求抽象的复合函数的偏导数-链式法则,例1.,解:,例2.,解:,法1：公式法：,法3：微分法：,法2：直接法：,两边求导，这时若对 求导，把 数,谁是自变量，,把 均看成变量用一阶微分形

7、式不变性及微分法则.,求隐函数 的偏导数也有类似的方法.,请选用恰当的方法.,求隐函数 的偏导数的三个方法,隐函数的求导公式：,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,根据隐函数存在定理，,存在,点 的一个邻域，在此领域内，该方程,（A）只能确立一个具有连续偏导的隐函数,（B）可以确立具有连续性偏导的隐函数,（C）可以

8、确立具有连续性偏导的隐函数,（D）可以确立具有连续性偏导的隐函数,设,则,例3.,例4.设,解法1:直接求导法,再对 x 求导,注意：对x求导时，应把y看成常量，把z看成x,y的函数.,解法2:利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,例4.设,例4.设,解法3:利用微分法求导,设,求,思考与练习:,例5.设,是由方程,和,所确定的函数,求,解法1:,(99考研),这是由两个方程式组成的方程组,两边对 x 求导得,解法2:,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,例5.设,是由方程,和,所确定的函数,求,(99考研),1.在几何中的

9、应用,曲面,曲面在点,1)隐式情况.,处的法向量,曲面,2)显式情况.,法向量,切点,法线的方向余弦：,求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),向上,三、多元函数微分法的应用,求曲线的切线及法平面,(关键:抓住切向量),1)参数式情况.,切点,2)一般式情况.,切点,例1.,解:,切向量为：,所求切线方程为：,法平面为：,求曲线,上对应于,的点处的切线,及法平面方程.,例2.求曲线,在点M(1,2,1),处的切线方程与法平面方程.,解:令,则,切向量,切线方程,即,法平面方程,即,2.极值与最值问题,定义:,说明：(1)由定义知:极值点应在定义区域内部（内点）,而不能在边界上.,(2),在点

10、(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,(3)二元函数的极值的概念可推广到三元以上的 多元函数上.,极值的必要条件与充分条件,定理1(必要条件),函数,偏导数,且在该点取得极值,注1,几何意义：,但在该点不取极值.,注2,1.驻点,2.偏导中至少有一个不存在的点.,令,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,例1.求函数,解:,解方程组,得驻点(1,1),(0,0),故所求函数的极值为:,对驻点(1,1):,所以,对驻点(0,0):,所以函数在(0,0)处无极值.,求函数,的极值的一般步骤：,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无

11、条件极值问题,对自变量只有定义域内限制.,对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制.,例如,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,的极值问题,极值点必满足,设,例如,故,极值点必满足,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形.,例如,求函数,下的极值.,解方程组,可得到条件极值的可疑点,求解闭域上连续函数最值问题,有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：,（假定函数在D上可微且有有限

12、个驻点）,（1）找最值可疑点,D内的驻点，不可导点,边界上的可能极值点,（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,函数的最值应用问题,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小.,根据问题的实际意义确定最值.,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件).,解:,如图,设,解方程组,得条件极值的可疑点为：,另解 求,提示:,3.比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.,答案:,函数的最值应用问题,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义

13、域(及约束条件),例3.,求旋转抛物面,与平面,最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,到平面,之间的,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,3.方向导数与梯度,问题的提出:,在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样.,空气沿不同方向流动的快慢不一样.,在数学上，即设函数 当(x，y)沿不同方向改变时的变化率决定着陡缓与快慢.,如图：,方向导数,定义:若函数,则称,在点,处,沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:,记作,为函数 在点 处沿方向 l 的方向导数.,说明:,的变化率.反映函数随自变量变化而变化的快慢程度,(2)偏导数

14、与方向导数不一样.,的方向导数为：,方向导数的存在性及其计算方法:,定理,那么,函数在该点沿任一方向l的方向导数存在,且有,说明:,(1)可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,的方向导数为1，,但它在 处不可微(因不可导).,(2),(3)若计算,，只需在题设中找到,(4)几个关系,注：,反之不成立.,1)定义：,(5)推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式,的方向导数为,例4.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,方向余弦为,而,同理,解：,由方向导数的计算公式知,P73第15题,故,梯度,方向导数公式,令向量,方向导数取最大值：,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,(1)定义,记作,梯度与方向导数的区别与联系(以二元函数为例),1）区别：,2）联系：,梯度是向量，方向导数是数量.,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值即,方向导数的最小值？,(2)说明:,例6.求函数,由梯度计算公式得,梯度,并求该函数在点 处的方向导数的最大值.,解：,则该函数在点 处的方向导数的最大值为：,