考研基础数学讲义导数与微分.ppt

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1、1,一、导数和微分的概念及应用,二、导数和微分的求法,导数与微分,2,一、导数和微分的概念及应用,导数：,微分:,可导与可微的概念：,可导,存在.,可微,其中A是与,无关的常数.,特点是：“分子一定一动，分母有左有右”分子是函数值之差，分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限.,能,3,导数与微分的区别与联系,联系:,区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察.,是函数相对于自变量的变化率.,(dy 是y 线性主部).,4,可导与可微的区别与联系:,区别：可从定义式子；几何意义两方面考察.,可导,存在.,可导,一定有切线,且切线不垂直于x轴.,以直代曲,可微,联系：,可微必可导，可导必可微.

2、,可微,其中A是与,无关的常数.,能,5,几个定理,定理1.,定理2.,定理3.,可微,可导,连续,有极限,有定义,6,思考：,7,(1)利用导数定义解决的问题,(2)用导数可求切线与法线的方程,4）用导数定义求极限；,2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3)由导数定义证明一些命题；,1)利用导数的定义求函数在某点处的导数；,用导数可求变速直线运动的速度与加速度,5）判断函数在某一点的可导性.,应用:,8,1)几何应用：,几何意义：,是y=f(x)在点,切线、法线的方程：,切线的方程：,法线的方程：,2)物理应用：,瞬时速度：,瞬时加速度：,处切线的斜率.,9,

3、解:,原式=,题型1：已知导数求极限,例1.,10,11,例2.设,讨论 在 处的可导性,并求,解:,不存在,不连续，从而不可导.,但是,12,解:,原式=,且,联想到凑导数的定义式,例3.,13,例4.,解:,题型2：已知极限求导数,14,处可导的一个充分条件是（）,练习:,15,题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数,提示：以下情况必须用导数的定义求导数,1)求分段函数在分界点处的导数时；,2)不符合求导法则的条件时；,3)表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则.,例5.,解:,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导.,注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定

4、不可导.,16,例6.,解:,分析:,不能用公式求导.,求左右极限,17,可导,例7.,解:,注意：求导法则的成立是有条件的.,18,设,解:因为,又,例8.,注：判断可导性的方法,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,19,例9.,分析:,又,20,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,例10.,21,例11 证明：,证明：,定义法,公式法,题型4：利用导数的定义证明导函数的性质,22,思考：05数一、二，4分 设F(x)的导数是f(x)，,表示“M的充分必要条件是N”，则必有,(B)F(x)是奇函数,f(x)是偶函数.,(A)F(x)是偶函数,

5、f(x)是奇函数.,f(x)是周期函数.,(C)F(x)是周期函数,(A),23,二、导数和微分的求法(微分法),1.正确使用导数及微分公式(16个)和法则(四则法则；锁链法则；反函数求导法则).,2.熟练掌握求导方法和技巧:,(1)求分段函数的导数;,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等.,(2)隐函数求导法(直接法、微分法);,(3)参数方程求导法(复合函数法、微商法);,(5)复合函数求导法,(可利用微分形式不变性);,(6)高阶导数的求法,(逐次求导归纳;间接求导法).,(4)对数函数求导法(对多个因式的积商、乘方开方及幂指函数有用);,24,3.常数和基本初等函数的导数及法则:,求

6、导公式(16个):,25,有限次四则运算的求导法则(有条件的):,(C为常数),反函数的求导法则：,复合函数求导法则(有条件的):,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数.,26,(2)求法:直接法逐阶求导法归纳法,间接法,利用已知的高阶导数公式和法则.,4.高阶导数的概念及求法,公式：,法则：,(C为常数),记作：,27,说明：,1.有以上公式与法则,我们就可以对任意初等函数求各阶,2.求导时,应认清结构,是和差还是乘积,复合;是分段函数还是抽象函数,幂指函数,是隐函数还是参数方程等.,3.求导时应认清谁是自变量,谁是函数.对哪一个变量求导.,导数.初等函数的各阶导数(若存在)仍为初等

7、函数.,4.应正确使用各种导数的符号.如,28,1)基本初等函数的微分公式,5.微分运算公式与法则,29,1)微分的四则法则：设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),2)微分法则,2)复合函数的微分法则：,结论：,无论u是自变量还是中间变量，,形式总是,这种特性称为一阶微分形式的不变性,30,1)表示导数时能显示谁是函数谁是自变量,2)表示微分时有商的含义，故,3)隐含着一阶微分形式的不变性.,31,解:,关键:搞清函数的运算结构,对复合函数应由外向内逐层求导.求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则.,题型5：求各类函数的导数及微分,例12 求下列函数的导数,解:,32,解：,幂指函数

8、 的求导方法有两种：,方法1：,对数求导法,然后用隐函数求导法求导.,方法2：,利用复合函数求导法,变形为,然后用复合函数求导法求导.,33,由参数方程所确定的导数的求导法：,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,关系,法1:由复合函数及反函数的求导法则得,即,法2:由微商及微分的计算求导.,?,已知,注意:,例13.,34,例13.,解：,求导小技巧：先变形再求导,35,单值可导隐函数,并求,所给方程两边微分：,微分法：,36,解：方程两边对 x 求导：,直接求导法：,令 x=0,注意此时,上式两边对 x 求导：,小技巧,单值可导隐函数,并求,(12年研,答案：1),37,隐函数直接求导法:,直接对方程两边对 求导,把含有 的项看成是 的,提示：,两边取对数,对数求导法:,该法适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.,对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,复合函数.,38,例15.设,试确定常数 a,b 使 f(x)处处可导,并求,解：,得可导必连续,39,40,例16.,解:,例17.设,解:,注意区分符号：,41,题型6：导数的应用,例19.,解：,对方程分别对t求导得,所求切线方程为:,42,例20.,解：,方程两边分别对x求导得,则,43,练习：,