维随机变量函数的分布.ppt

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1、3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)为二维离散型随机变量，则函数 是一维离散型随机变量若已知(X,Y)的分布律，如何得到 的分布律?,3.5 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例3.20】设(X，Y)的分布律为试求：Z1=X，Z2=Y/X，Z3=minX，Y的分布律 解：将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例3.21】设,且 X与Y独立，证明 证：取值为0，1，2

2、，Z=k是互不相容事件 的和,考虑到独立性，对任意非负整数k，有,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,即证明了 例3.21的结论说明，泊松分布具有可加性.,设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x，y)，为X，Y的函数，它也是连续型随机变量求Z的概率密度的一般按下面两步进行:(1)求Z的分布函数 其中(2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y的概率密度 解：事件X+Y Z所占有的区域如图，对积分 作变量变换x=u

3、y得：于是,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,对z求导数得由X，Y的对称性，又有:,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度 特别地，当X和Y独立时,X，Y的概率密度分别为 和，则上述两式可分别写成 和这两个公式称为卷积公式，记为:,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.23】（正态分布的可加性）设X和Y都服从N(0,1)且相互独立，求Z=X+Y的概率密度 解：由卷积公式令，得 即ZN(0，2),3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,一般地，设X，Y相互独立，且，则 更一般地，可以证明，有限个相互独立的正态随机

4、变量的线性组合仍服从正态分布即定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为n个任意常数，则,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.24】设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求：随机变量Z=X+Y的概率密度解：因,欲使，即使，x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,(1)时，由于，故(2)时，(3)时，综上所述，得到：,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.25】（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立的n个随机变量,若

5、，试在以下情况下求Y和Z的分布(1)XiFi(x)，i=1，2，n(2)Xi同分布，即XiF(x)，i=1，2，n(3)Xi为连续随机变量，且Xi同分布，即Xi的概率密度为f(x)，i=1，2，n,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,解：(1)的分布函数为 的分布函数为,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,(2)将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中，得(3)Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可由上述两式分别对y和z求导得到,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.26】设随机变量X与Y相互独立，且同服从(0，1)上的均匀分布，试求Z=|X Y|的概率密度解：

6、因为所以Z的概率密度为,答,课堂思考,所以,【保险中的理赔总量模型解答】保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的理赔额和全年理赔总量均为随机变量某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用Xi表示某类保险单的第i次理赔额，N表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y表示这一年中对这类保单的理赔总量建立如下理赔总量模型：,现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1，0.3，0.4和0.2每张保单可能产生的理赔额为1，2，3（万元），相应的概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔总量Y的概率分布，并求理赔总量超过6万元的概率,【保险中的理赔

7、总量模型解答】,解：设Xi为第i次发生的理赔额，则X1，X2，X3相互独立且具有相同分布.其概率分布为设N为理赔次数，则它的概率分布为由于理赔总量Y=X1+X2+X3，易知，理赔总量Y的所有可能取值为0，1，2，9,【保险中的理赔总量模型解答】,显然，PY=0=0.1，PY=1=PN=1PX1=1=0.30.5=0.15，由全概率公式可以计算Y取其它每一个可能值的概率，如PY=2=PN=1PX1=2+PN=2PX1+X2=2=PN=1PX1=2+PN=2PX1=1,X2=1=0.30.4+0.40.50.5=0.22,【保险中的理赔总量模型解答】,PY=3=PN=1PX1=3+PN=2PX1+

8、X2=3+PN=3PX1+X2+X3=3=PN=1PX1=3+PN=2PX1=1,X2=2+PX1=2,X2=1+PN=3PX1=1,X2=1,X3=1=0.30.1+0.4(0.50.4+0.40.5)+0.2(0.50.50.5)=0.215,【保险中的理赔总量模型解答】,PY=4=PN=2PX1+X2=4+PN=3PX1+X2+X3=4=PN=2PX1=2,X2=2+PX1=1,X2=3+PX1=3,X2=1+PN=3PX1=1,X2=1,X3=2+PX1=1,X2=2,X3=1+PX1=2,X2=1,X3=1=0.4(0.40.4+0.50.1+0.10.5)+0.2(0.50.50.4+0.50.40.5+0.40.50.5)=0.164,【保险中的理赔总量模型解答】,余下的几个概率可类似求出来，这里略去.于是理赔总量Y的概率分布为理赔总量超过6万元的概率为PY6=PY=7+PY=8+PY=9=0.0126+0.0024+0.0002=0.0152.,【保险中的理赔总量模型解答】,