维随机变量函数的分布.ppt
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1、3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布 设(X,Y)为二维离散型随机变量,则函数 是一维离散型随机变量若已知(X,Y)的分布律,如何得到 的分布律?,3.5 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例3.20】设(X,Y)的分布律为试求:Z1=X,Z2=Y/X,Z3=minX,Y的分布律 解:将(X,Y)及各个函数的取值对应列于同一表中,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并):,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,【例3.21】设,且 X与Y独立,证明 证:取值为0,1,2
2、,Z=k是互不相容事件 的和,考虑到独立性,对任意非负整数k,有,3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布,即证明了 例3.21的结论说明,泊松分布具有可加性.,设(X,Y)为二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y),为X,Y的函数,它也是连续型随机变量求Z的概率密度的一般按下面两步进行:(1)求Z的分布函数 其中(2)FZ(z)对z求导数,得Z的概率密度为,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.22】(和的分布)设(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度 解:事件X+Y Z所占有的区域如图,对积分 作变量变换x=u
3、y得:于是,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,对z求导数得由X,Y的对称性,又有:,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的概率密度 特别地,当X和Y独立时,X,Y的概率密度分别为 和,则上述两式可分别写成 和这两个公式称为卷积公式,记为:,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.23】(正态分布的可加性)设X和Y都服从N(0,1)且相互独立,求Z=X+Y的概率密度 解:由卷积公式令,得 即ZN(0,2),3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,一般地,设X,Y相互独立,且,则 更一般地,可以证明,有限个相互独立的正态随机
4、变量的线性组合仍服从正态分布即定理3.1(正态分布的重要性质)若X1,X2,Xn为相互独立的随机变量,且 C1,C2,Cn为n个任意常数,则,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.24】设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 求:随机变量Z=X+Y的概率密度解:因,欲使,即使,x与z必须满足 即 将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴影部分,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,(1)时,由于,故(2)时,(3)时,综上所述,得到:,3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布,【例3.25】(最大值与最小值分布)设X1,X2,Xn是相互独立的n个随机变量,若
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