2.42.5连续型随机变量及其密度函数.ppt

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1、2.42.5 连续型随机变量及其概率密度,小结,连续型随机变量及其概率密度的定义,概率密度的性质,三种重要的连续型随机变量,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,如果 X为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度.,一、连续型随机变量及其概率密度的定义,有,连续型随机变量的分布函数在 上连续,二、概率密度的性质,1,2,利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,对于任意实数 x1,

2、x2,(x1 x2),若 f(x)在点 x 处连续,则有,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,若 x 是 f(x)的连续点，则,对 f(x)的进一步理解:,若不计高阶无穷小，有,表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于.,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,a,(1)连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0.即,这是因为,请注意:,当

3、时,得到,(2)对连续型 r.v X,有,由P(B)=1,不能推出 B=,由P(A)=0,不能推出,1.均匀分布,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，,X U(a,b),三、三种重要的连续型随机变量,若 r.v X的概率密度为：,记作,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车

4、时间少于5 分钟的概率.,解,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,2.指数分布,若 r.v X具有概率密度,为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.,若X 服从参数为 的指数分布,则其分布函数为,事实上,当 时,当 时,3.正态分布,若连续型 r.v X 的概率密度为,记作,其中 和(0)都是常数,则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布.,事实上

5、,则有,曲线 关于 轴对称；,x=为 f(x)的两个拐点的横坐标；,当x 时，f(x)0.,f(x)以 x 轴为渐近线,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布,的性质:,事实上,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理1,证,Z 的分布

6、函数为,则有,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当 x 0 时,表中给的是 x 0 时,(x)的值.,若,若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,这在统

7、计学上称作“3 准则”.,N(0,1),时，,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,解,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h.,看一个应用正态分布的例子:,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为h cm,按设计要求,因为 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得(2.33)=0.99010.99,因而=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,所以.,这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,四、小结,