结构的位移计算.ppt
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1、1.领会变形体虚功原理和互等定理。2.掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。3.熟练掌握荷载产生的位移计算。4.熟练掌握图乘法求位移。5.了解温度改变、支座移动引起的位移计算。,第6章 结构的位移计算,目的要求,6-1 概 述,1结构的位移,(1)结构的位移 结构在外因的影响下将产生变形,由于变形使结构上各截面的位置将发生变化,这种位置的变化称为位移。(2)位移的分类及表示 位移可分为线位移及角位移f,为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向,分别用Cx(或CH)、Cy(或CV)表示,如图6-1所示。角位移用fC(或C)表示如图6-2所示。位移的表示符号右下方有两个脚标,其物理意义为:第
2、一个脚标表示发生位移的截面,第二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。,位移又可分为绝对位移(如图6-1所示)及相对位移,如图6-2中C、D两截面的水平线位移Cx、Dx之和CD=Cx+Dx表示C、D两截面在水平方向上的相对线位移,又如 fAB=fA+fB表示A、B两截面的相对转角。无论是绝对位移或相对位移,今后统称为广义位移,可用表示。,图6-1 图6-2,2计算结构位移的目的(1)验算结构的刚度 结构在外因影响下如果变形太大,同样会影响结构的正常使用,为此在各种结构的设计规范中,对结构的刚度都有一定的要求。(2)结构在施工过程中需要计算位移 结构在施工过程中,往往需要预先知道结构的变形情
3、况,而这种变形与结构正常使用时完全不同。如图6-3为悬臂拼装架梁的示意图。在正常使用时,该简支梁的最大挠度在跨中,而在施工时悬臂端B处的挠度最大,该挠度值也成为在结构设计时的控制因素之一。,图6-3,(3)为超静定结构的计算打基础 在超静定结构的计算中,除考虑平衡条件外,还必须考虑变形协调条件,因此计算结构的位移是解超静定结构的一个重要手段。(4)结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的移。3计算位移时的有关假定(1)结构的材料服从虎克定理。即应力与应变呈线性关系。(2)结构的变形很小,可以认为结构变形前后的几何尺寸相同,称为弹性小变形问题。(3)受弯杆件不考虑轴向变形的影响。上述假定可使位
4、移计算得到简化,其计算精度可以满足工程要求。满足上述假定的体系其位移与荷载呈线性关系,称为线性变形体。若位移与荷载之间不呈线性关系的体系称为非线性变形体。本书只考虑线性变形体。4引起结构产生位移的原因除荷载外,还有温度变化、支座移动、制造误差、混凝土收缩等因素。,1虚功和虚功原理(1)虚功 力在其位移上做功,当力与位移彼此独立无关时,这时的功称为虚功。(2)刚体的虚功原理 理论力学中讲过刚体的虚功原理:刚体体系处于平衡的必要和充分条件是,对于任何虚位移,所有外力所作虚功的总和为零。(3)变形体的虚功原理 对于变形体来讲,当给体系一虚位移时,除了外力(荷载、约束反力等)在虚位移上做虚功外,内力在
5、其相应的变形上也要做功,这个功称为变形虚功。变形体的虚功原理可表述为:变形体处于平衡的必要和充分条件是,对于任何虚位移,外力所做虚功总和等于各微段的内力在其变形上所做的虚功总和。,6-2 变形体系的虚功原理,若用W表示外力虚功,WV表示变形虚功,则上述原理可写为 W=WV(6-1)由于力与位移的独立性,为计算方便,常把力状态与位移状态分开画,在力状态所有的力(荷载与支座反力等)处于平衡状态,在位移状态中,虚位移可由其它任何原因(如另一组力系、温度变化、支座移动等)引起,但必须是约束条件所允许的微小位移。2变形虚功的计算 在力状态取微段ds为隔离体,如图6-4(c)所示,在位移状态对应微段的变形
6、为du、ds、df,当略去二阶微量时,ds微段的变形虚功为dWV=FNdu+FSds+Mdf,对于整个结构则为 WV=dWV=FNdu+FSds+Mdf(6-2),故虚功方程为:W=dWV=FNdu+FSds+Mdf(6-3),图6-4,3.虚功原理的应用(1)虚位移原理 给定力状态,虚设位移状态,利用虚功方程来求解力状态的未知力,称为虚位移原理。(2)虚力原理 给定位移状态,虚设力状态,利用虚功方程求解位移状态中的位移,称为虚力原理。本章将根据这一原理计算位移。,在利用虚力原理时,由于力状态是虚设的,故将上节所述力状态改称为“虚拟状态”,位移状态改称为“实际状态”。为了计算方便,在“虚拟状态
7、”沿欲求“实际状态”的指定截面位移方向K加一个对应的单位力,如图6-5所示。根据(6-1)、(6-3)式可得 式中、为单位力 引起的内力(在虚拟状态),上式移项后可得(6-5),6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,1.单位荷载法,由(6-5)式可以看出,欲求“实际状态”的某一位移如K,则必须在“虚拟状态”加一个相应的单位力,然后利用虚功原理求出K,故此种计算位移的方法称为单位荷载法。,图6-5,2.单位力的作法 具体计算中,欲求的位移可能是角位移、相对线位移、相对角位移,则对应的虚拟力应分别为一个单位力偶,一对指向相反的单位力或一对方向相反的力偶(见图6-6),在桁架中由于只承受结点集中荷
8、载,当欲求图中BC杆转角时,虚拟力则是加在BC杆两端结点垂直于杆轴线的一对集中力1/lBC,它们组成一个单位力偶m=1/lBClBC=1。,图6-6,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,式(6-5)中的du、ds、d为“实际状态”中ds微段的变形,该变形可以由荷载引起或温度变化或支座移动等原因引起。本节先讨论荷载的影响,其它因素将在后面各节分述。当只考虑荷载的影响时,式(6-5)可写为(a)由材力可知:(b)式中FNP、FSP、MP为“实际状态”中荷载引起的微段内力,,E为材料的弹性模量,I、A分别为杆件截面的惯性矩和面积,G为剪切弹性模量,k为截面上剪应力分布不均匀系数,它与截面的形状有
9、关。如矩形截面k=6/5,圆形截面k=32/27,工字形截面kA/Af,Af是腹板的面积。将(b)式代入(a)式得(6-6)在计算梁和刚架时,因剪切及轴向变形的影响比弯曲变形小得多,可以略去不计,故式(6-6)可简化为(6-7)在桁架计算中,因只有轴力一项,且每根杆EA、l均为常数,故式(6-6)可写为(6-8),对于组合结构,受弯杆件只计弯曲变形的影响,二力杆只有轴向变形,则式(6-6)可写为(6-9)例6-1 试求简支梁在荷载作用下跨中C截面的竖向线位移Cy。EI=常数。见图6-7(a)。解:1.建立“虚拟状态”。欲求Cy则应在C处加一单位集中力作为虚拟力,见图6-7(b)。2.写出、表达
10、式。设x坐标如图所示,A为坐标原点。在虚拟状态中,由单位力引起的内力、反力均在其相应的表示符号上加一横线,AC与CB段内力表达式形式不一样,故“两种状态”中的内力应分两段写出,AC段=ql/2x-qxx/2(0 xl/2)=x/2(0 xl/2)CB段=ql/2x-qxx/2(l/2xl)=x/2-1(x-l/2)=l/2-x/2(l/2xl),图6-7,3.代入式(6-7)计算Cy。计算结果得正值说明Cy的方向与虚拟力方向一致,数据后面一定要注明所求位移的实际方向。例6-2 求图6-8(a)所示圆弧曲杆B点的竖向线位By。EI=常量,不计轴力及曲率的影响。解:1.建立虚拟状态如图6-8(c)
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