经典概率论与数理统计第5章大数定律及中心极限定理.ppt

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1、第五章 大数定律与中心极限定理,5.1 大数定律,5.2 中心极限定理,5.1 大数定律,上一页,下一页,返回,例 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,2,2、大数定律定义,定义5.1.1 设Xn为随机变量序列，若对任意的有,则称Xn服从大数定律。,定理,上一页,下一页,返回,契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量 将比较密的聚集在它的数学期望的 附近，它与数学期望之差依概率收

2、敛到0.,定理,上一页,下一页,返回,或,证明：设Xi表示第 i 次试验中事件A出现的次数，i=1,2,n,则X1,X2,Xn相互独立且均服从参数为p的(0-1)分布，故有 E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,n且，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，有,上一页,下一页,返回,说明：1、贝努里大数定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件A发生的频率具有稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义；2、贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件的概率的方法。,定理5.1.4（马尔可夫大数定律）对随机变量序列Xn，若马尔可夫条件成立，则Xn服从大数定律，即对任意的，式(5.1.2

3、)成立。,例 设Xn为一同分布、方差存在的随机变量序列，且Xn仅与Xn-1和Xn+1相关，而与其他的Xi不相关，试问该随机变量序列Xn是否服从大数定律？,(辛钦大数定律)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=(i=1,2,)，则对于任意正数,有,定理,上一页,下一页,返回,5.2 中心极限定理,定义 若独立随机变量序列X1,X2,Xn,的标准化和,使得,恒成立，,则称随机变量序列Yn服从中心极限定理（The Central Limit Theorem）。,(独立同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差

4、，E(Xk)=,D(Xk)=20(k=1,2,).则随机变量,定理,的分布函数Fn(x),对于任意x,有,上一页,下一页,返回,说明：定理称为林德贝格勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理,例 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.,(李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,它们具有数学期望和方差:,定理,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,定理,上一页,下一页,返回,例某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：保险公司亏本的概率是多少？保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？,上一页,下一页,返回,PX120=1-,解：设这10000人中一年内死亡的人数为X，则Xb(10000,0.006),保险公司一年收取1000012=120000元保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为PX120及。,上一页,下一页,返回,