组合数学3.3常系数线性非齐次递推关系.ppt

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1、3.3常系数线性非其次递推关系,3.3.1 非其次递推关系 3.3.2 举例,3.3.1 非其次递推关系,常系数线性非其次递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-k F(n)()其中c1,c2,ck是实数常数，ck0；F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。相伴的齐次递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-k(),3.3.1 非其次递推关系,定理 若anx(n)为递推关系(3.3.1)相伴的齐次递推关系()的通解，any(n)为递推关系()的一个特解，则anx(n)y(n)为递推关系()的通解。,3.3.1 非其次递推关系,定理 设常系数线性非齐次递推关 anc1an-1c2an

2、-2ckan-k F(n)其中c1,c2,ck是实数常数，ck0；且F(n)(btntbt-1nt-1b1n b0)Sn 其中b1,b2,bt和S是实数常数。当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的m(m0)重根时，存在一个下述形式的特解：annm(ptntpt-1nt-1p1np0)Sn 其中p1,p2,pt为待定系数。,3.3.2 举例,例 解递归解(1)相伴齐次递推关系anan-1()()的特征方程x10()的特征根 x1()的通解ana1na(a为任意常数),3.3.2 举例,(2)由于F(n)nn1n且s1是()的1重 根，所以得()的一个特解形如 ann1(p1np0)1n(p1,

3、p0为待定系数)代入a11，a23得,3.3.2 举例,故得()的一个特解 ann1(n)1n n2 n(3)()的通解 ana n2 n(a为任意常数)代入a11得a0(4)求得递归的解an n2 n,3.3.2 举例,例3.3.2 解Hanoi问题的递归，即解(1)相伴齐次递推关系an2an-1()()的特征方程x20()的特征根 x2()的通解ana2n(a为任意常数),3.3.2 举例,(2)由于F(n)111n且s1是()的0重 根，所以得()的一个特解形如 ann0p1n p(p为待定系数)代入()得p1 故得()的一个特解an1,3.3.2 举例,(3)()的通解 ana2n1(

4、a为任意常数)代入a11得a1(4)求得递归的解an2n1,3.3.2 举例,定理若anx(n)和any(n)分别是递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n)anc1an-1c2an-2ckan-kF2(n)的解，其中c1,c2,ck(ck0)是实数常数，F1(n)与F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数，则anx(n)y(n)为递推关系 anc1an-1c2an-2ckan-kF1(n)F2(n)的解,3.3.2 举例,例 解递归解(1)相伴齐次递推关系an3an-1()()的特征方程x30()的特征根 x3()的通解ana3n(a为任意常数),3.3.2 举例,(2)分别求an3an-132n()an3an-14n()的一个特解()的一个特解形如b2n(b为常数)将其代入()得b6 故求得()的一个特解an62n类似求得()的一个特解an2n3故求得()的一个特解an 62n2n3,3.3.2 举例,(3)()的通解 ana3n62n2n3(a为任意常数)(4)代入a18得a5。故求得递归的解 an53n62n2n3,