线性规划在工商管理中的应用.ppt

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1、1,第四章 线性规划在工商管理中的应用,1 人力资源分配的问题2 生产计划的问题3 套裁下料问题4 配料问题5 投资问题,2,1人力资源分配的问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,3,1人力资源分配的问题,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件：s.t.x1+x6 60 x1+x2 70 x2+x3 60 x3+x

2、4 50 x4+x5 20 x5+x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,4,1人力资源分配的问题,例2一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使 配备的售货人员的人数最少？,5,1人力资源分配的问题,解：设 xi(i=1,2,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5 28 x2+x3+x4+x5+x6 1

3、5 x3+x4+x5+x6+x7 24 x4+x5+x6+x7+x1 25 x5+x6+x7+x1+x2 19 x6+x7+x1+x2+x3 31 x7+x1+x2+x3+x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0,1人力资源分配的问题,往往一些服务行业的企业对人力资源的需求一周内像例2所描述的那样变化，而每天的各时间段的需求又往往像例1描述的那样变化，在保证工作人员每天工作8h，每周休息两天的情况下，如何安排能使人员的编制最小呢？,6,7,2生产计划的问题,例3某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三道工序。甲、乙

4、两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,8,2生产计划的问题,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求 xi 的利润：利润=售价-各成本之和 产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15 元 产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13 元 产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10 元

5、产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9 元 产品丙的利润=16-(4+3+2)=7 元 可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为 15元、10元、7元、13元、9元。,9,2生产计划的问题,通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,10,2生产计划的问题,例4永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两 道工序加工。设有两种规

6、格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工；可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,11,2生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t.5x111+10 x211 6000（设备 A1）7x112+9x212+12x312 10000（设备 A2）6x121+8x221 4000（设备 B1）4x122+11x322 700

7、0（设备 B2）7x123 4000（设备 B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x312-x322=0（产品在A、B工序加工的数量相等）xijk 0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3,12,2生产计划的问题,目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润=（销售单价-原料单价）*产品件数之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)(x211+x212)+(2.80-

8、0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4474x122-1.2304x322-0.35x123,13,3套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，

9、问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列8 种下料方案，见下表,设 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分别为上面 8 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 约束条件：s.t.x1+2x2+x4+x6 100 2x3+2x4+x5+x6+3x7 100 3x1+x2+2x3+3x4+x6+4x8 100 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8 0,14,用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即 x1=30;x2=10；x3=

10、0；x4=50；x5=0；x6=x7=x8=0 只需90根原材料就可制造出100套钢架。注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。,3套裁下料问题,3套裁下料问题,若可能的下料方案太多，可以先设计出较好的几个下料方案。首先要求每个方案下料后的料头较短；其次方案总体能裁下所有各种规格的圆钢，且不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。这样套裁即使不是最优解，也是次优解，也能满足要求并达到省料目的。如我们用前5种下料方案进行求解，也可得到上述最优解。,15,3套裁下

11、料问题,像例5那样在一个定长度的原料上裁出不同长度的产品，是一个线裁问题，如果在一个一定形状的面积上，裁出不同形状的产品，这是一个面裁问题，当然类似还有体裁问题。例5告诉我们用套裁下料的方法解决线裁优化的问题，是否可以推广到面裁、体裁呢。答案是肯定的，我们只要像例5那样，设计出一些较好的下料方案，然后用类似的线性规划模型，即可解决这些问题。,17,4配料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x

12、11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出 约束条件：规格要求 4 个；供应量限制 3 个。,18,4配料问题,利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x3

13、3）=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 约束条件：从第1个表中有：x110.5(x11+x12+x13)x120.25(x11+x12+x13)x210.25(x21+x22+x23)x220.5(x21+x22+x23),19,4配料问题,从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有 x11+x21+x31100 x12+x22+x32100 x13+x23+x3360 通过整理，得到以下模型：,20,4配料问题,例6（续）目标函数：Max z=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40

14、 x31-10 x33 约束条件：s.t.0.5 x11-0.5 x12-0.5 x13 0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23 0（原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22-0.5 x23 0（原材料2不超过50%）x11+x21+x31 100(供应量限制）x12+x22+x32 100(供应量限制）x13+x23+x33 60(供应量限制）xij 0,(i=1,2,3;j=1,2,3),21,4配料问题,例6（续）此线性规划的计算机解为x11=100，x12=50，

15、x13=50，其余的xij=0，也就是说每天只生产产品甲200kg，分别需要用第1种原料100kg，第2种原料50kg，第3种原料50kg。,22,4配料问题,例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4的4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-8中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的2种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-9中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？,表4-8,表4-9,23,4配料

16、问题,解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。目标函数为飞机汽油1的总产量：,库存量约束为：,产量约束为飞机汽油2的产量：,由物理中的分压定律，可得有关蒸汽压力的约束条件：,同样可得有关辛烷数的约束条件为：,24,4配料问题,综上所述，得该问题的数学模型为：,25,4配料问题,由管理运筹学软件求解得：,26,5投资问题,例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初

17、投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：1）应如何确定这些项目每年的投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？2）应如何确定这些项目每年的投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资的总的风险系数为最小？,解：1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij(i=15，j=14)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：A x11 x21

18、x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,27,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初有资金1.1 x11，于是 x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初有资金 1.1x21+1.25x12，于是 x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初有资金 1.1x31+1.25x22，于是 x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初有资金 1.1x41+1.25x32，于是 x51=1.1x41+1.25

19、x32；B、C、D的投资限制：xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型：a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 xij 0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）,5投资问题,28,S,b)所设变量与问题a相同，目标函数为风险最小，有 Mi

20、n f=x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在问题a的约束条件中加上“第五年末拥有资金本利在330万元”的条件，于是模型如下：Min f=(x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 330 xij 0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）,5投资问题,