线性方程组解的结构.ppt

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1、1,第四节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构,2,若AX=0有非零解,这些解具有哪些性质?解集合的整体结构如何?,问题,性质1.如1,2是AX=0的解,则1+2也是它的解 由1,2是AX=0的解,即A1=0,A2=0 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 1+2也是AX=0的解性质2.如是AX=0的解,则对任意的数C,c也是它的解 由是AX=0的解,即A=0 c R,A(c)=cA()=0 c R,c也是AX=0的解,一、齐次线性方程组的结构,3,定义,如果1,2,s是n元齐次线性方程组AX=0解向量组的一个最大线性无关组，则称1,2,s为方程组AX=

2、0的一个基础解系,综合以上两点得:若AX=0有非零解,那么,这些 解的任意线性组合仍是解,因此必有无穷多解,基础解系满足(1)1,2,s 线性无关(2)AX=0的任何一个解都可以由这s个解线性表出,当齐次方程组仅有零解时,不存在基础解系,4,如果 1,2,s是齐次线性方程组AX=0 的 一个基础解系,那么,对任意常数c1,c2,cs,=c11+c22+css 是 AX=0 的解,称这种形式为AX=0 的通解 齐次线性方程组的关键问题就是求通解 而求全部解的关键问题是求基础解系,5,定理,令R(A)为n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩.若R(A)n,则该方程组存在一个基础解系,它含有n

3、-r个解向量,证明思路 基础解系必须在解集合中去寻找,要先从求解开始,再设法找n-r个无关解向量,6,齐次线性方程组基础解系的求法,用行初等变换化 A为阶梯形矩阵,其非零行的行数为r,得到同解方程组2.每行第一个非零元所在的列(共r个)对应的r个变量为基本未知量,其余的n-r个变量为自由未知量,当R(A)=rn,n元齐次线性方程组AX=0的 基础解系是不唯一的,3.自由未知量分别取1,0,0T,0,1,0T,0,0,1T 代入同解方程组中,所得到的n-r个解 X1,Xnr 即为方程组AX=0的基础解系,7,例1,求非齐次方程组的通解,解,用行初等变换化系数矩阵为行阶梯形,8,由于n-r=5-2

4、=3,所以有三个自由未知量:x2,x4,x5,基础解系也由三个解向量组成.同解方程组为,分别令,代入上述方程组解得,x2,x4,x5 T=1,0,0T,0,1,0T,0,0,1T,9,基础解系为,原方程组的通解为 X=c11+c22+c33其中c1,c2,c3为任意常数,例2,设A是mn实矩阵,证明:R(ATA)=R(A)(见书例2.4.2),10,若方程组的解不唯一,这些解具有哪些性质?解集合的整体结构如何?,问题,性质1 如1,2是AX=的解,则1-2是其导出组 AX=0的解 已知 A1=,A2=A(1-2)=A1-A2=-=0 1-2是AX=0的解性质2 如是AX=的导出AX=0的解,是

5、AX=的一个解 则+是AX=的一个解 A(+)=A+A=+0=+是AX=的解,二、非齐次线性方程组解的结构,11,与齐次线性方程组解的性质不同,如果1,2是,AX=的两个解,则c11+c22(c1,c2为常数)一般不是,AX=的解,因为,未必成立!,12,如0是AX=的一个解,是其导出组AX=0的解 由性质2=0+是AX=的解 设r(A)=r(A,)=r n 对AX=的任意一个解 1 1-0=是其导出组AX=0的解 1-0可由其导出组AX=0的基础解系 1,2,n-r 线性表出 即 1-0=c11+c22+cn-rn-r 1=0+c11+c22+cn-rn-r 即 1=0+那么当取遍AX=0的

6、所有解时1就取遍了 AX=的所有的解.(c1,c2,cn-r为任意常数),13,定理,若n元非齐次线性方程组AX=有解,且R(A)=rn,则其通解为X=0+,其中0是AX=的一个特解,=c11+c22+cn-rn-r是其导出组AX=0的通解,1,2,n-r为导出组AX=0的一个基础解系,c1,c2,cn-r 为任意常数,14,设X1,X2,Xt是非齐次线性方程组AX=0 的解向量,证明 X0=c1 X1+c2 X2+ct Xt是AX=的解当且仅当c1+c2+ct=1,例3,证,依题设知AXi=i=1,2,t,故,当且仅当,因此,X0是AX=的解当且仅当c1+c2+ct=1,15,由此可见,非齐

7、次方程组解对于线性组合并不一定封闭,只有组合系数的和等1的时候,解向量组的组合才是解!,如何求AX=的通解?通过例子说明,16,例4,求非齐次线性方程组的通解,解,用行初等变换化增广矩阵为行最简形,17,又因为n-r(A)=5-2=3,导出组有三个自由未知量x3,x4,x5,导出组的基础解系也由三个解向量组成,分别取x3,x4,x5T 为 1,0,0T,0,1,0T,0,0,1T解得导出组的基础解系为,由于R(A)=R(A,)=2,所以方程组有解,同解方程组为,18,对非齐次方程组,令x3=x4=x5=0,求出一个特解,原次方程组的通解为,r0=(-2,3,0,0,0)T,X=r0+c11+c

8、22+c33,其中c1，c2，c3 为任意常数,19,例5,设方程组AX=的增广矩阵为,解,问:a,t取何值时,方程组无解,有唯一解,无穷多解？有无穷多解时，求其通解,用行初等变换化增广矩阵为行阶梯形,(A,)=,20,(1)当a2 且 t1时,R(A,)=R(A)=4=n,解唯一(2)当t=1时,R(A,)=43=R(A),无解,(3)当a=2,而,当方程组有无穷多解时,此时B为,即t=4时,有无穷多解,(4)a=2,t 4时无解,=B,21,22,其中k为任意常数,令x3=0,解得AX=的一个特解为10,-7,0,2T令x3=1,解得AX=0 的基础解系为0,-2,1,0TAX=通解为,同解方程组为,