线性代数课件-12特征值与特征向量.ppt

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1、1,主要内容,第十二讲 特征值与特征向量,特征值与特征向量的概念、求法；,特征值与特征向量的性质.,基本要求,理解矩阵的特征值与特征向量的概念，了解其性质，并掌握其求法.,2,一、特征值与特征向量的概念,第二节 方阵的特征值与特征向量,定义 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式,成立，,那么这样的数 称为方阵 的特征值；,非零向量 称为方阵 的对应于特征值 的特征向量.,注意：,关系式 是特征值与特征向量满足的条 件式，由此可知 必须为方阵.,零向量显然满足关系式，但零向量不 是特征向量.,特征向量是非零向量.,3,二、特征值与特征向量的求法,1.结论的引入,若 是 的特征值，是

2、 的对应于 的特征向量，则有,方程 有非零解，且 是它的一个非零解,是代数方程 的根.,4,以 为未知数的一元 次方程,称为方阵 的特征方程.,以 为变元的 次多项式，即,称为方阵 的特征多项式.,5,2.结论,矩阵 的特征方程 的根就是 的特征值.在复数范围内 阶矩阵有 个特征值(重根按重数计算).,设 是方阵 的一个特征值，则齐次方程,的全体非零解就是 的对应于特征值 的全部特征向量；,齐次方程 的基础解系就是对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组.,6,例1 求矩阵 的特征值和特征向量.,解 析：这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.,的特征

3、多项式,所以 的特征值为,7,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,8,当 时，对应的特征向量应满足,即,解得,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,9,解,的特征多项式,所以 的特征值为,10,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,11,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,12,解,的特征多项式,所以 的特征值为,13,当 时，解齐次方程，,得基础解系,所以对应于 的全部特征向量为,14,得基础解系,当 时，解齐次方程，,所以对应于 的全部特征向量为,(不同时为0).,15,说明,例2和例3

4、属于同一类型，解题方法和步骤也完全一致.但是，要注意它们的区别，在例2中，对应于2重特征值 仅有一个线性无关特征向量；在例3中，对应于2重特征值 有两个线性无关特征向量.,16,三、特征值与特征向量的性质,设 阶矩阵 的 个(在复数范围内)特征值为 则,(的迹),1.特征值的性质,若 是 的特征值，且，则 是矩阵的特征值.,17,若 是 的特征值，则 是矩阵 的特征值.,一般地，若 是 的特征值，且,则 是矩阵 的特征值.,说明,如果，则上述结论中的幂指数可取任意实数.,证明,若 是 的特征值，且，则 是 的特征值.,证明,特征值的性质,18,若 阶矩阵 的秩为，则 0 一定是的特征值.但是必

5、须注意 0 不一定 是重特征值.,证明,设 为 阶矩阵，则 与 的特征值相同.,证明,特征值的性质,19,若 是 的对应于 的特征向量，则 也是 的对应于 的特征向量.,若 是 的对应于 的特征向量，则 也是 的对应于 的特征向量.,2.特征向量的性质,设 是方阵 的 个特征值，依次是与之对应的特征向量，,如果 互不相等，则 线性无关.,20,例4 设3阶矩阵 的特征值 为求,解 析：此例的目的是熟悉特征值的性质(1)(2)(3),根据性质(1)知，求得 的全部特征值，就可求得.此方法提供了求行列式的一个方法，即,方阵 的行列式=的全部特征值之积.,因为的特征值为，全不为0，,所以 可逆，且,

6、则有,故 的特征值为,21,因此,22,例5 设 和 是矩阵 的两个不同的特征向量，对应的特征向量依次为 和，,证,根据题设，有,析：要证明一个向量不是特征向量，通常用反证法.,用反证法，假设 是 的特征向量，,则存在数，使,证明 不是 的特征向量.,23,因为，所以 线性无关，故,即有,与题设矛盾.,因此 不是 的特征向量.,24,四、小结,设 是 阶矩阵，若有数 和非零列向量，使,则称 是 的特征值，为 的对应于 的特征向量.,矩阵 的特征值是特征方程 的根.,矩阵 的对应于特征值 的特征向量是齐次方程,的非零解.,特征值和特征向量的性质.,25,特征值的性质的证明,证,因为 是 的 个特

7、征向量，则有,即,令，即得,另一方面，根据行列式的定义知，上述行列式的展开式中，只有对角元之积含有,26,这些项中不含,比较两端的 的系数，可得,即,证毕,特征值的性质的证明,27,特征值的性质的证明,因为 是 的特征值，,证,所以存在非零向量 使,又由 知，,可逆，且，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,证毕,28,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,用 左乘上式两端得,这表明 是矩阵 的特征向量.,类似地，可以证 是矩阵 的特征向量.,证毕,29,特征值的性质的证明,证,因为 是 的特征值，,所以存在非零向量 使,又因为，所以,这表明 是矩阵 的特征向量.,

8、证毕,30,特征值的性质的证明,证,因为,所以 而,有非零解,因此存在非零向量，使,这表明 0 是 的特征值.,证毕,31,特征值的性质的证明,证,根据特征值满足的条件：是特征方程 的根，所以要证 与 的特征值相同，,只需证它们的特征方程相同，也即只需证它们的特征多项式相同.,因为,所以 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值相同.,证毕,32,特征向量的性质的证明,证,设存在 使,是方阵 的特征值，,依次是与之对应的特征向量，即有,因为,所以,即,即,(1),(2),(3),33,类推下去,有,(m),把以上 个等式合写成矩阵等式，得,上式左端的第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，,当 互不相等时，该行列式不等于0，从而该矩阵可逆.于是有,特征向量的性质的证明,34,即,又,因此必有,所以 向量组线性无关.,证毕,特征向量的性质的证明,