线性代数方程组的直接解法.ppt

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平方根法(Cholesky乔列斯基分解方法),实对称正定矩阵的几个重要性质,A1 亦对称正定，且 aii 0,A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定,A 的特征值 i 0,A 的全部顺序主子式 det(Ak)0（充要条件）,3.3 平方根法,证明：,设,则 的所有顺序主子式为正,矩阵 存在Doolittle分解,易证,其中 为 的主对角元素，且有,单位上三角,记,思想,Cholesky分解的计算公式,设,由 对应元素相等得,Cholesky分解公式,因对称性无需存储,Step1,Step2,Step3,的计算过程:,例5：用Cholesky分解法求解下列方程组,解：,系数矩阵为,Step1,Step2,Step3,求解方程组,求解方程组,Cholesky分解法求解方程组中需说明的几个问题,工作量：约为 分解的一半；,不必选主元：的正定性和算法的稳定性,稳定性：是数值稳定的；,缺陷：存在开平方运算。,改进方法：分解,改进的平方根法,改进的平方根法(/*Modified Square Rooting Method*/),当 时,Step1,Step2,Step3,时,例6：用改进的平方根法求解下列方程组,解：,系数矩阵为,Step1,Step2,Step3,求解方程组,求解方程组,求解方程组,等价方程组,先求解方程组,再求解方程组,方程组求解的实际计算公式：,