线性代数schmidt正交化方程组求解.ppt

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1、,几何与代数,主讲:王小六,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,线性代数的相关资料：1 Introduction to Linear Algebra，Gilbert Strang 著，麻省理工开放课程链接：2 Linear algebra and its applications/线性代数及其应用/美 David C.Lay 著3 Linear algebra with applications/线性代数/Steven J.Leon.著4 东南大学线代精品课程网站5 同济的，浙大唐明编写的，东大张小向编写的“习题书”6 高等代数.定理问题方法/胡适耕，刘先忠编著 O15/36 7 线性代数

2、学习指导/樊恽,郑延履,刘合国编 O151.2-42/18 8 高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 王萼芳 石生明 著，高等教育出版社（较难，数学系教材）,第四章 n维向量,第4节向量的内积,二.正交向量组和Schmidt正交化方法,正交向量组,标准正交向量组,正交基,标准正交基,1.概念,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,发现的结论 设1,2,s是标准正交向量组,且=k11+k22+kss,则ki=,i=1,2,s.,2.结论,定理4.10.1,2,s正交线性无关.,定理4.11 每个非零的向量空间V 都有标准 正交基.,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,1=1,Sc

3、hmidt正交化方法(务必掌握)：,再将1,2,s单位化得:,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,另外，从上述构造可总结：设1,2,s线性无关(s2),则存 在一个正交向量组1,2,s使得 1,2,t与1,2,t等价(1 t s).,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,第二章 n维列向量,2.6 内积与正交矩阵,三.正交矩阵(orthogonal matrix),定义 满足QTQ=E 或QQT=E(即Q1=QT)的实方阵Q称为正交矩阵,简称为正交阵.,定理4.12.设Q为n阶实方阵,则下列条件等价:,性质.(1)Q为正交阵|Q|=1;,(2)Q的行(列)向量组构成Rn的一组 标准正交基;,

4、(1)Q是正交阵;,(3)QT是正交阵;(4)Q1是正交阵.,(2)A,B为正交阵 AB为正交阵.,例 设,是 n 维列向量,Q为nn 的正交矩阵,则|Q|=|,=.,Q,Q的长度和夹角与,的长度和夹角相等,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,cos2+sin2,sin2+cos2,0,0,=E.,O,x,对应的正交变换,y,第四章 n维向量,4.4 向量的内积,第四章 n维向量,第5节线性方程组解的结构,行变换,4.5 线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1,A,b,阶梯形A,b,(1)Ax=b有解 A 与(A,b)的非零行数相等；

5、(2)当A 与(A,b)的非零行数都等于n时,Ax=b有唯一解；(3)当A 与(A,b)的非零行数(记为r)相等且小于n时,Ax=b有无穷多解,通解中含有n r 个自由未知量.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,行变换,4.5 线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1,A,b,阶梯形A,b,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,4.5 线性方程组解的结构,一.线性方程组的相容性,定理4.13.设ARsn,bRs,则,(1)Ax=b有解r(A,b)=r(A);(2)当r(A,b)=r(A)=n时,Ax=b有 唯一解;(3)当r(

6、A,b)=r(A)n时,Ax=b 有 无穷多解,且通解中含有n r(A)个自由未知量.,例1,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,注：对于矩阵方程AX=B,有以下结论。,AX=B 有解 r(A,B)=r(A),记 B=(b1 b2 bt).则 AX=B 有解 A(x1 x2 xt)=(b1 b2 bt)有解 Axj=bj 有解，j=1,2,t.r(A,bj)=r(A),j=1,2,t.r(A,b1 b2 bt)=r(A).(思考),第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,二.齐次线性方程组的解的结构,另外,A=A(k)=k(A)=.,事实上,A=,A=A(+)=A+A=.,1.设ARs

7、n,下列集合构成Rn的一个子空间.,Rn|A=:=K(A),称其为Ax=的解空间或矩阵 A 的核空间(零空间).,设ARsn,称向量空间K(A)的基为 齐次线性方程组Ax=的基础解系.,定义,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,Ax=的解集,|A=,1,2,s 线性无关,可以由 1,2,s 线性表示,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,2.,Ax=的一个基础解系,1,2,s,=k11+k22+kss,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例1 设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为,1 0 1 30 0 1 0-20 0 0 0 0,求方程组Ax=的基础解系.,定理4.14.设A

8、Rsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若r n,则Ax=有基础解系,且 dimK(A)=n r.,x1=c1,r+1xr+1+c1,r+2xr+2+c1nxn,x2=c2,r+1xr+1+c2,r+2xr+2+c2nxn,xr=cr,r+1xr+1+cr,r+2xr+2+crnxn,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,注解,=xr+1+xr+2+xn,定理4.14.设ARsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若r n,则Ax=有基础解系,且 dimK(A)=n r.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,1=,2=,nr=.,

9、定理4.14.设ARsn,秩(A)=r.,(1)若r=n,则Ax=没有基础解系;(2)若r n,则Ax=有基础解系,且 dimK(A)=n r.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,求解齐次线性方程组Ax=的基础解系的一般步骤：,A,行阶梯形,秩(A)n?,简化阶梯形,求得基础解系,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例2 设矩阵A 经初等行变换化为,0 2 0 30 1 1 0-20 0 0 1 0,求Ax=的基础解系.,例3 设矩阵A 经初等行变换化为,-1 0-1 0 0 1 1,求核空间K(A)的基及维数.(注意区别值域R(A),例

10、4.证明 r(ATA)=r(A).,证明:设A为mn的矩阵,x为n维列向量.注意到Ax=(ATA)x=同时，由(ATA)x=xT(ATA)x=0(Ax)T(Ax)=0 Ax=.故Ax=与(ATA)x=同解,因此 nr(ATA)=nr(A).进而得 r(ATA)=r(A).,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,K(A)=K(ATA),A可以是一个向量,例5 设A,B分别是sn,nt矩阵,证明：若 AB=O,则 r(A)+r(B)n.(即为推论2.8),第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,三.非齐次线性方程组的一般解,1.Ax=b 的导出组:Ax=.,性质1.设1,2都是 Ax=b 的

11、解,则12是 Ax=的解.,性质2.是Ax=b的解,是Ax=的解,则+是Ax=b的解.,2.非齐次线性方程组的解向量的性质,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,定理4.15.,*是 Ax=b 的一个特解,1,nr Ax=的基础解系,Ax=b的通解为,x=*+k11+knrnr.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,3.解非齐次线性方程组Amn x=b的一般步骤,A b,行阶梯形,简化阶梯形,求得Ax=b的特解和Ax=的基础解系,求得Ax=b的一般解,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,例6.求方程组,的一般解.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,3 2 1 1-21

12、3-2 4 1 74 11 8 0 5 3,初等行变换,3 2 1 1-20-1 0-4 1 110 0-4 3 0 9,初等行变换,0 0-19/2 4 71/20 1 0 4-1-110 0 1-3/4 0-9/4,四.在解析几何中的应用,1.两直线的相对位置,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,1.两直线的相对位置,重 合,相 交,平 行,异 面,无穷多解,唯一解,无 解,位置关系,Ax=D,秩,无 解,r(A)=r(A,D)=2,r(A)=r(A,D)=3,r(A)=2,r(A,D)=3,r(A)=3,r(A,D)=4,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,有其它判断方法,例

13、7.当参数k取什么值时，直线,相交？,L1,L2,P1,P2,s1,Q2,Q1,s2,Q2,注：改例子在第三章出现过。,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,2.三平面的相对位置,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,3:A3x+B3y+C3z+D3=0,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,重 合,交于一线,交于一点,无交点,无穷多解,位置关系,Ax=D,秩,无 解,r(A)=r(A,D)=1,r(A)=r(A,D)=2,r(A)=r(A,D)=3,r(A)+1=r(A,D),2.三平面的相对位置,唯一解,无穷多解,第四章 n维向量,4.5 方程

14、组解的结构,例8 讨论下列三个平面的相对位置.,1:x+y+bz=3;2:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3:(1-a)y+(2b-1)z=0.,其中，a,b 是参数.,第四章 n维向量,4.5 方程组解的结构,课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.,第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,4.6 线性方程组的最小二乘解,大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示,1 2 3 4 5 6 7,18.5 19.6 20.3 20.5 19.

15、8 20.6 21.5,假定天数 x与股票价格 y 服从三次关系 y=ax3+bx2+cx+d,将上述数据代入假定的方程中，得到七个以 a,b,c,d为未知数的方程组,其未必有解！,x,y,y=ax3+bx2+cx+d,第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,Ax=b 没有解，即 Ax-b=没有解,寻求最佳近似解x0，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|,x Rn,即寻找x0使得|Ax0 b|=min|a b|,a R(A),b,假定Asn,第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,第四章 n维向量,定理 4.16 假设V是Rs的子空间，b Rs,V,则|-b|=min|a b|当且仅当,a V

16、,-b 与 V 中每个向量都正交.,b,V,4.6 最小二乘解,Ax=b 没有解，即 Ax-b=没有解,寻求最佳近似解x0，使得：|Ax0 b|=min|Ax b|,x Rn,即寻找x0 使得|Ax0 b|=min|a b|,a R(A),b,R(A),第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,即寻找x0 使得|Ax0 b|=min|a b|,a R(A),第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,即寻找x0 使得 Ax0 b 与 R(A)中的每个向量都正交,R(A)=L(1 2 n),定理 4.16,即寻找 x0 使得 Ax0 b 与 1 2 n都正交,i.e.,=iT(Ax0 b)=0,i=1,2

17、,n.,即寻找x0 使得|Ax0 b|=min|a b|,a R(A),第四章 n维向量,4.6 最小二乘解,第四章 n维向量,ATAx0=ATb.,该方程一定有解 x0（见习题四(B)42）称其为Ax=b的正规方程，称其解为Ax=b的最小二乘解.,4.6 最小二乘解,作 业,习题四(B)25(1),26,27,29;30(1),31;32,35;36 40 上交时间：11月29日（周二）,本门课程的内容体系,本门课程：研究矩阵的理论,第二章 矩阵矩阵的定义和运算；可逆矩阵:特殊矩阵;分块矩阵:为了更方便的运算;初等变换:矩阵之间的一种变换；,第五章：相似变换(方阵),第六章：可逆变换(实对称

18、阵),特征值,惯性指数,矩阵世界，纷繁复杂，如何找到不变的永恒,秩,第四章：向量空间是一种特殊的矩阵空间,寻找向量空间的极小生成元(基),寻找向量组的极大无关组,研究向量组中向量间的关系（线性相关性）,有了基,就有了坐标；,定义内积,引入正交的概念,构造一组标准正交生成元,两个应用,刻画矩阵A的列空间(列向量生成的子空间),刻画Ax=b的解空间，即寻找基础解系等,第三章 几何空间(R3):可看作是第四章的铺垫，也可看作一种特殊的向量空间。,第一章 行列式和方程组:它们是研究矩阵的工具。很多问题会被转化为求行列式(特别是遇到方阵时)或求方程组解的问题。,定理的4.14证明(注解)：这样的设法是假定增广矩阵(A,b)化成了阶梯形矩阵之后，r个非零首元出现在了前r列。这样的设法是合理的。,