线性代数3.1矩阵的特征值和特征向量.ppt

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1、矩阵的秩,例如:,对于方阵,矩阵在初等变,矩阵的秩可以反映矩阵的可逆性、,换下可化成怎样的标准形式、,线性方程组是否有解、,齐次线性方程组,的基础解系含有几个解向量等.,还有“特征值”.,能反映矩阵的许多特性.,除“秩”外,Ch3 矩阵的特征值和特征向量,在矩阵求逆、矩阵运算中，掌握矩阵的特征值、特征向量和相似矩阵理论是重要和方便的。它们在很多方面都有广泛应用。,3.1 矩阵的特征值和特征向量,在经济管理的许多定量分析模型中，经常遇到矩阵特征值和特征向量问题。,引言,例如,例1 定量分析污染与工业发挥水平的关系模型：,，,设,是某地区目前的污染水平，,是目前的工业发展水平。,若干年后的污染述评

2、和工业发展水平分别为,，,它们之间具有关系,或,记,有,当,有,，,，,，,。,，,由此，可预测出污染水平和工业发展水平的状态具有倍数关系。,这是所谓矩阵特征值与特征向量问题。,。,下面给出特征值与特征向量概念，除特别声明，,均在实数域上讨论矩阵特征值与特征向量问题。,时,一、矩阵的特征值、特征向量概念,定义3.1,设,是,阶矩阵，如果存在一个数,相应地,有非零向量,使得,（）,那么就称,是矩阵,的一个特征值,称为,的一个特征向量.,的属于特征值,注1),矩阵的特征值、特征向量有两个前提条件:,（1）,特征值,是一个数；,（2）,特征向量,是非零向量,且满足,；,（3）,对任何数,有,但0不是

3、,的特征向量,也不能说,不是,的特征值.,注2),特征值与特征向量是相互联系的两个概念,即有特征值一定有相应的特征向量,有特征向量一定有,相应的特征值.,注3),等式,刻划特征向量的特性:,对,作用,只发生数量倍的变化.,对于普通的几何空间而言,上述特性,有明显的几何意义:,与,共线.,一般地，向量,经过,线性变换,后，,表明是共线的。,注4）,对给定矩阵，,并不是随便那个数都是它的特征值的。,二、特征值、特征向量的求法、特征多项式,设矩阵,有一个特征值,是 的属于特征值 的,特征向量，则,于是有,.,这表明 是齐次线性方程组,(3.1.2),的一个非零解（向量）。,因而由齐次线性方程组理论，

4、,于是,其系数矩阵的行列式。,设 为 阶矩阵,命题,是矩阵 一个特征值充分必要,条件是,为以 为变量的一元 次代数方程,(3.1.3),的根。,称为A的特征矩阵，其行列式,定义3.2,含有未知数 的矩阵,称为矩阵 的特征多项式,记作.,称为矩阵 的特征方程。,是A的属于 特征值的特征向量的充分必要条件是,为 特征方程的根，,设 为 阶矩阵,代数方程,（证明略）,定理3.1,则 是A的特征值，,是齐次线性方程组,的非零解（向量）。,注1)的特征多项式 是一个 次,且首项系数是1；,多项式,注2)如果 是A的特征值，常常称为A的特征根；,注3)根据定理3.1和齐次方程组理论，,可以得到,推论1,如

5、果 是A的属于特征值 的特征向量，,则对任意常数，,也是A的属于特征值 的,特征向量。,且，则,推论2,如果,都是A的属于特征值 的特征向量，,也是A的属于特征值 的特征,向量。,为数值。,推论3,如果,都是A的属于特征值 的特征,向量，,则,也是A的属于特征值,的特征向量，,其中,(它就是 的属于特征值,的全部特征值、特征向量的求法,注4),第一步,对给定下的矩阵，,计算特征多项式;,第二步,求出特征方程 中的全部根,(即 的全部特征值，其中可能有重根,或成对出现、重数相同的复数根);,第三步,对每一个特征值,求出齐次线性方程组,的一个基础解系,的极大无关的特征向量组),由此可求出 的属于,

6、的全部特征向量，,其中,为数值.,例2求矩阵 的特征值和,相应的特征向量.,解：矩阵 的特征多项式为,因此由 可得 的全部特征值为,.,即求解,对于，,解齐次线性方程组,得到一个基础解系，,，这里 为任意常数。,于是,的属于,的全部特征向量为,即求解,对于，,解齐次线性方程组,得到一个基础解系，,这里 为任意常数。,于是 的属于 的全,部特征向量为，,例3求矩阵 的特征值和相应,的特征向量.,解：矩阵 的特征多项式为,因此 没有实数解，在实数域上无特征值，,但在复数域上，可得 的全部特征值为,解齐次线性方程组,对于，,即求解,得到一个基础解系，,全部特征向量为，,解齐次线性方程组,对于，,的,

7、于是,的属于,的全部特征向量为,，这里 为任意常数。,即求解,得到一个基础解系，,于是,的属于,这里,为任意常数。,特征值与讨论数域有关，如果限制在实数域上，矩阵的特征值可能不存在或者不够多。,注5）,本例表明，对于给定的实数矩阵，,其特征值,可能不是实数，,这时它的所有特征值全为复数。,对于，,例4,求矩阵特征值和相应的特征向量.,解:矩阵 的特征多项式为,因此由,可得 的全部特征值为,（二重根），,.,即求解,解齐次线性方程组,得到一个基础解系,，,于是,的属于,的全部特征向量为,这里,为不全为零的任意常数。,即求解,对于，,解齐次线性方程组,于是 的属于 的全部特征向量为,得到一个基础解

8、系，,这里,，,为任意常数。,求矩阵特征值和相应的特征向量.,例5,解:矩阵 的特征多项式为,（二重根），.,因此由,可得 的全部特征值为,即求解,对于，,解齐次线性方程组,得到一个基础解系,解齐次线性方程组,的属于 的全部,为非零任意常数。,于是,特征向量为,，这里,即求解,对于，,于是 的属于,得到一个基础解系，,的全部特征向量为，,为任意常数。,这里,对于给定的 阶矩阵A，,记为。,的解空间。,注6）,A最多有,个不同的特征值，,每个特征值可以确定一簇特征向量。,阶矩阵A属于特征值,的特征向量全体再添加零向量,构成 的一个子空间，,称为矩阵A 对应特征值 的,特征子空间，,它就是齐次线性

9、方程组,证明：设,是矩阵A的属于,的一个特征向量，则,于是,的一个特征向量。,由此可知，,是 阶矩阵 的一个特征值，,并且,是矩阵,的属于,例6设 是 阶矩阵A的一个特征值，,证明,是,阶矩阵,的一个特征值。,三、矩阵特征值和特征向量的性质,特征多项式、特征值.,定理3.2,设,是 阶方阵,则,与,有相同的,有,证明：,根据行列式性质,和特征多项式定义，,此即 与 有相同的特征多项式，,从而有相同的,特征值。,则，,假定 不可逆，,是它的任一特征值都不等于零。,定理3.3,阶方阵,可逆的充分必要条件,于是,证明：,必要性：,设,阶方阵,可逆，,则，,的任一特征值都不为零。,即0不是 的特征值，

10、,亦即,于是,充分性：,设,的任一特征值都不为零，,这表明0是 的特征值，,与已知条件矛盾。,故 必然可逆。,个彼此不同的特征值，,线性无关。,定理3.4,设,是,阶方阵,是 的个彼此不同的特征值，,分别是 的,属于 的特征向量，,则,证明略,属于 的线性无关的特征向量组，,定理3.5,设,是 阶方阵,是,的,是,的,则,证明略,是线性无关向量组。,个特征值为,设,例如例4中情形。,根据定理3.5，,是,的,个所有不同的特征值，,则特征子空间,的基向量组,合起来的向量组,线性无关。,则,定理3.6,满足,并且,在复数域中的,1),（矩阵A的迹）；,2),哈密顿凯莱 定理,的迹,具有性质：,1),2),3),4),设,是,的特征多项式,则,例 设矩阵,，已知A有特征值,求x的值和A的另一特征值,解：,于是有,