线性代数(同济六版)ch.ppt

《线性代数(同济六版)ch.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数(同济六版)ch.ppt（42页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第三章 矩阵的初等变换与,用消元法解线性方程组，,1 矩阵的初等变换,1.互换两个方程；,2.以非零数乘某个方程；,3.一个方程的倍数加到另一个方程.,例 1 解线性方程组,对方程组用到三种变换：,线性方程组,2,，+5,2,定义 1 下述三种变换称为矩阵的初等行变换:,1.对调两行;,2.以非零数乘某行的所有元素;,3.把矩阵某行的所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去.,初等列变换.,初等变换.,如果矩阵 A 经初等变换得到矩阵 B,下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵.,那么称矩阵 A 与 B 等价.,记为 AB.,B1 是矩阵 A

2、经初等行变换得到的阶梯形矩阵.,例 2 用初等行变换把矩阵,解,A,变成行阶梯形矩阵.,称 B2 为行最简形矩阵.,再作初等行变换 B1 又可以变为,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵.,对B2 再作初等列变换又可得,任何 mn 矩阵 A 都可经过初等变换化为形如,的矩阵,称矩阵F 为 A 的标准形.,例 3 用初等行变换将矩阵,变成行最简形矩阵.,解,A,2 矩阵的秩,定义 2 在 mn 矩阵 A 中任取 k 个行与 k 个列,定义 3 如果矩阵 A 中有一个 k 阶子式 D 0，,零矩阵的秩规定为 0.,数 k 称,解 在 A 中有一个 2 阶子式,且 A 的所有的,所

3、以 R(A)=2.,3 阶子式都等于零，,称为矩阵 A 的一个,位于这,且所有的 k+1,则称 D 为 A 的一个最高阶非零子式.,阶子式都等于 0,为矩阵 A 的秩，矩阵 A 的秩记成 R(A).,些行与列交叉处的元素而得的 k 阶行列式,k 阶子式.,据定义3可知，,解 在 A 中有一个 3 阶子式,且 A 中所有的,4 阶子式都等零，,所以 R(A)=3.,行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.,Dr 相应的一个 r 阶子式 Mr,因而,若把矩阵 A 的第 i 行乘数 k0 得矩阵B，,且 Mr=Dr,或 Mr=Dr,那么 B 中存在一个,且 Mr=Dr 或 Mr=k Dr.,与Dr 相应的

4、一个 r 阶子式 Mr,设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.,当 A 对调第 i 行,第 j 行得矩阵 B 时.,在矩阵 B 中存在一个与,定理 1 若AB，则 R(A)=R(B).,证明 先证明,如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵B，,那么,R(A)R(B).,我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行,得到矩阵 B,那么矩阵 B 中必有一个 r 阶子式 Mr 0.,因而,因而,这样，我们就证明了，,如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B,则有 R(B)=R(A).,由矩阵经一次初等行变换秩不变，,类似的可以证明，经有限次初等列变换,总之，若

5、AB，则 R(A)=R(B).,则 R(A)R(B)成立.,所以也应有 R(B)R(A).,若矩阵 A 经一次初等行变换得矩B，,那么矩阵B 也可以,这样，我们就证明了，若矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B,变换矩阵的秩也不变.,经一次初等行变换得矩阵A,即可知经有限次初等行,矩阵的秩也不变.,例3 求下列矩阵的秩,求矩阵 A 的秩,1.根据矩阵秩的定义.,2.根据定理 1.,用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，,行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（定义3）.,解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r2,r2-2r1,r2r3,r3+4r2,因此，R(A)=3.,矩阵A 的秩=

6、此行阶梯形矩阵的秩（据定理1）,例4 求下述矩阵的秩,解 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.,A,r1r3r2-2r1r3-2r1,因此，R(A)=2.,线性方程组,称为 n 元齐次线性方程组.,A称为方程组的系数矩阵,于是，这个齐次方程组可以记为,3 线性方程组的解,记,定理 2 n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要,证 必要性 设方程组 Ax=0 有非零解.,假设 R(A)=n，,根据 Cramer 法则，D 所对应的 n 个方程构成的齐次线性方程组,从而原方程组 Ax=0也只有零解，,矛盾.,充分性 设 R(A)=r n,那么 A1 只含 r 个非零行，,用反证法来证明,

7、条件是系数矩阵A 的秩 R(A)n.,R(A)n.,故 R(A)n.,对 A 施行初等行变换得到行阶梯形,矩阵 A1.,那么在 A 中应有一个 n 阶子式|D|0.,只有零解，,不妨设为,于是齐次线性方程组 Ax=0 与,这个方程组有 n-r 0 个自由未知量,也有非零解.,同解.,把它改写成,因此有非零解.,故 Ax=0,例 1 3 元齐次线性方程组,是否有非零解？,解 由,r2-r1 r3-3r1 r4-r1,r3-r2 r4-2r2,因为R(A)=23,所以此齐次线性方程组有非,可知R(A)=2.,零解.,解 用初等行变换化系数矩阵,可知，,有非零解.,R(A)=2 3.,性方程组有非零

8、解.,n 元非齐次线性方程组,A称为非齐次线性方程组的系数矩阵,B 称为增广矩阵.,记,于是，,Ax=b,这个非齐次方程组可以记为,其中,定理 3 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条,证明 必要性,则 B可化成 行阶梯形矩阵,件是 R(A)=R(B),假设R(A)R(B)，,其中 B=(A b)为非齐次线性方程组,用反证法,设非齐次线性方程组 Ax=b 有解，,要证R(A),=R(B).,Ax=b 的增广矩阵.,于是得到与原方程组 Ax=b 同解的方程组：,因为它含有矛盾方程 0=1，所以这个方程组无解，,这与原方程,充分性 设 R(A)=R(B)=r.,则 B1中含 r 个非

9、零行.,用初等行变换化增广矩阵 B 为,组有解矛盾.,故 R(A)=R(B).,行阶梯形矩阵 B1，,不妨设B1 为,B1 对应的方程组为,这个方程组有解.,它与原方程组 Ax=b 同解，,所以非齐次线性,方程组 Ax=b 有解.,由上述证明还可以知道，,n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是,R(A)=R(B)=n.,例 3 判断下列非齐次线性方程组是否有解,解 用初等行变换化其增广矩阵,由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即 R(A)R(B)，,因此方程组,例 4 a,b 取何值时，非齐次线性方程组,（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？,无解.,解 用初等

10、行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，,（1）当 a 1 时，R(A)=R(B)=4,（2）当 a=1，b 0 时，R(A)=2,而R(B)=3,（3）当 a=1，b=0 时，R(A)=R(B)=2,由此可知：,方程组有唯一解；,方程组无解；,方程组有无穷多个解.,4 初等矩阵,定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵有三种：,E,E,E,例1 矩阵,且有,都是初等矩阵，,所以,由于,也都是初等矩阵，,所以,初等矩阵是可逆矩阵，,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.,一般的有,=E.,因此，,由于,=E.,因此，,由于,=E.,因此，,由于,定理4 对矩阵 A 施行一次初等行（

11、列）变换相当于以相应,证明 设 A 是 mn 矩阵,记,其中a1,ai,aj,am 分别是 A 的第 1,i,j,m,行.用初等矩阵 E(i,j)左乘矩阵 A,得,的初等矩阵左（右）乘 A.,同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立.,类似的，可以得到初等列变换的情形.,例 2,例 3,定理5 设 A 为 n 阶矩阵,则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是,证明 必要性 设 A 为可逆矩阵.,A=P1 Pi E Pi+1 Pk,即 A=P1P2 Pk.,充分性 因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可,推论 矩阵 A B(A 与 B 等价）的充要条件是存在可逆矩,用初等变换求矩阵的逆矩阵,设 A 为可逆矩阵,据定理5，有初等矩阵 P1,P2,Pk,使,存在有限个初等矩阵 P1,P2,Pk，使 A=P1P2 Pk.,也就是存在初等矩阵 P1,P2,Pk,使,所以,当P1,P2,Pk 为初等矩阵,A=P1P2 Pk 时，,因为 A E,所以 E 经有,限次初等变换可以化为 A，,逆矩阵.,A 是可逆矩阵.,矩阵 P 和 Q 使 PAQ=B.,还有,所以,由（1）和（2）式，根据定理4可知，可逆矩阵 A 经一些初等,E 经同样一些初等行变换可变为 A-1.,初等行变换,A=P1P2 Pk.,于是有,行变换可化为 E,解,所以,所以,