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1、概率论,南京航空航天大学,2,概率论的起源与发展,起源：17世纪中叶法国贵族梅勒,帕斯卡(1623-1662),费马(1601-1665),荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年,这一时期称为组合概率阶段,成为数学分支：,瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705),大数定理(LLN),1713年,3,棣莫佛(1667-1754):,中心极限定理(CLT)(1901年),乘法原理，正态分布等。,蒲丰(1707-1788)：蒲丰问题,几何概率,拉普拉斯(1749-1827)：1812概率分析理论,概率的古典定义,泊松(1781-1840)：推广了大数定理，提出了Poisson分布等.,1

2、9世纪后期，极限理论成为概率研究的热点问题，其中切比雪夫及其学生马尔可夫为代表的圣彼得堡学派做出巨大贡献。,法国人 贝特朗于1899年提出了著名的贝特朗悖论,4,公理化阶段：俄国人伯恩斯坦，奥地利人冯-米西斯(1883-1953)对概率论的严格化做了初步的尝试,1905年测度论诞生-波雷尔(1881-1956)，勒贝格(1875-1941),1933年，柯尔莫哥洛夫(1903-1987),现代公理化体系,5,伊藤清(1915-2008):1942-1944年定义了对布朗运动的随机积分，1987年获得沃尔夫奖,Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在政治经济学杂志(Journal

3、 of Political Economy)发表，1997年获诺贝尔经济学奖彭实戈(1947-):1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941-)马志明(1948-)，陈木法(1946-),莱维(1886-1971):独立增量过程；辛钦(1894-1959)：平稳过程 杜布(1910-2004)，Meyer：鞅论,当代的发展：随机过程与随机分析-概率主流,目 录,概率论的基本概念 等可能概型(古典概型)条件概率 独立性 随机变量及其分布 随机变量的分布函数 随机变量的函数的分布 多维随机变量及其

4、分布 两个r.v.的函数的分布 随机变量的数字特征 几种重要r.v.的数学期望及方差 矩、协方差矩阵 大数定律及中心极限定理,1.确定性现象和不确定性现象.,2.随机现象:在个别试验中其结果呈现出 不确定性,在大量重复试验中其结果又 具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3.概率与数理统计的广泛应用.,1.随机试验,举例:E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.E3:将一枚硬币抛两次，观察出现正面的次数.,随机试验:(1)可在相同的条件下重复试验;(2)每次试验的结果不止一个,且能 事先明确所有可能的结果;(3)一次试验前不能

5、确定会出现哪 个结果。,2.样本空间与随机事件,(一)样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，记为S.样本空间的元素称为样本点，用e表示.,样本空间,1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.,(二)随机事件,样本空间S的子集称为随机事件，简称为事件。,事件发生:在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.,基本事件:由一个样本点组成的单点集.,必然事件:样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,不可能事件：空集不包含任何样

6、本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作AB.若A B且A B,即A=B,则称A与B相等.,B,A,S,2.和事件:,事件A B=x|x A 且 x B 称为A与B的积，即事件A与B同时发生.A B 可简记为AB.,类似地，事件 为可列个事件A1，A2，的积事件.,B,A,S,3.积事件：,事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生,B不发生时事件A-B发生.,显然:A-A=,A-=A,A-S=,A,B,s,4.差事件:,基本事件是两两互不相容

7、的,即样本点是 互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,6.对立事件(逆事件)：,S,A,B,(1)若A,B二事件互为对立事件,则A,B必互不相容,但反之不真.,(2)必然事件与不可能事件互为对立事件，,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,对偶律:,3.频率与概率,(一)频率 1.在相同的条件下,共进行了n次试验,事 件A发生的次数记为nA,称为A的频数,nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,频率的特性:波动性和稳定性.,说明(1)波动性:若试验次数n相同,不同时候试验其频率不同,当n较小时,fn(A)随机波动的幅度较大.,(2

8、)稳定性:当n增大时，频率fn(A)的波动越来越小，呈现出一定的稳定性。,1.定义:设E是随机试验,S是样本空间.对于E的每个事件A对应一个实数P(A),称为事件A的概率,如果集合函数P(.)满足下列条件:,(1)对任一事件A,有P(A)0;(非负性）,(2)P(S)=1;（规范性),(3)设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)+(可列可加性),(二)概率,由概率定义可以推出概率的一些重要性质：,一般地有:P(B-A)=P(B)-P(AB).,4.等可能概型(古典概型),等可能概型的两个特点:,(1)样本空间中的元素只有有限个;,(2)每个基本事件发

9、生的可能性相同.,计算公式:,例1.将一枚硬币抛掷三次，A表示“恰有一次出现正面”B表示“至少有一次出现正面”,求 P(A),P(B),抽样问题一只口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式:(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球，这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况，求(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,生日问题,假定每个人的生日在一年365天的任一天都

10、等可能,随机选取n(小于365)人,他们至少有两个人生日相同的概率？,小概率事件问题某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.,5.条件概率,(一)条件概率:设试验E的样本空间为S,A,B是事件,要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率,这就是条件概率问题.,例1.将一枚硬币掷两次,观察其出现正反面的情况.设 A“至少有一次正面”,B“两次掷出同一面”求：A发生的条件下B发生的概率.,在古典概型中，若P(A)0,1.定义:设A,B是两个事件,且P(A)0,称,为在事件A发生的条件下

11、事件B发生的条件概率.,2.性质:条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,例1.,3只一等品,1只二等品,任取一只,不放回,再任取一只,A第一次取到的是 一等品,B第二次取到的是一等品,求P(B|A).,(二)乘法定理:,推广:P(AB)0,则有 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A).,一般,设A1,A2,An是n个事件(n2),P(A1A2.An-1)0,则有乘法公式:,P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A

12、2An-2)P(A1)P(A2|A1),r只红球,t只白球,例2.,每次任取一只球观察颜色后放回,再加入a只同色球,在袋中连续取球4次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,例3.透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为0.7,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9,试求:透镜落下三次而未打破的概率.,(三)全概率公式和贝叶斯公式:,1.样本空间的划分,S,B1,B2,B3,.,Bn,(1)若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中,事件B1,B2,Bn 中必有一个且仅有一个发生.,2.全概率公式:,A,B1,B2,B3,

13、Bn,S,.,贝叶斯公式:,例4.某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的,数据如下:元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05(1)任取一只晶体管,求它是次品的概率.(2)任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概率分别是多少?,例5 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某一故障时,其合格率为55%,每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为95%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?,1.定义:设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)

14、,则称事件A与事件B是相互独立的事件。,由定义可知:,不可能事件、必然事件与任何事件都是相互独立的。,1.6 独立性,45,3.定理:设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立的充要条件是:P(B|A)=P(B).,46,相关结论:,47,2.定义:设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立。,例1.一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性。如下图，设有4个独立工作的元件1，2，3，4按先串联再并联的方式连接。设第i个元件的可靠性为，试求

15、系统的可靠性。,1,2,3,4,例2.100件乐器,验收方案是从中任 取3件测试(相互独立的),3件测试后都认为音色纯则接收这批乐器,测试情况如下:经测试认为音色纯 认为音色不纯乐器音色纯 0.99 0.01乐器音色不纯 0.05 0.95,若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问:这批乐器被接收的概率是多少?,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,1.定义:设随机试验E的样本空间是S=e，若对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应,即X(e)是定义在S上的单值实函数，称为随机变量。（random variable,简记为r.v.),e,S,X(e),Rx,有了随机变量X,以前的各种随机

16、事件均可用X的变化范围来表示:如例1中:,A=“正面朝上”,=X=1,C=“正面朝上或背面朝上”,=X=1或X=0=S,反过来,X的一个变化范围表示一个随机事件.,0X2,=“正面朝上”.,X0,=,-5X5,=S.,2.分类：,(2)可用随机变量X描述事件。,随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布。,(1)离散型随机变量;,(2)连续型随机变量。,注:(1)任何随机试验都可以找到相应的随机变量，,2.2 离散型随机变量的概率分布,1.定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个或可列无限多个,则称为离散型随机变量.,X

17、 x1 x2 xn pk p1 p2 pn.,例1.设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率p禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求X的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,3.几种重要的离散型r.v.的分布律：,X 0 1 pk 1-p p 其中0p1,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1.,若某随机试验E只有两个(或相互对立的两类)可能的结果,只要将其中的一个(或一类)结果对应于数字1,另一个(或另一类)对应于数字0,于是就可用0-1分布的随机变量来描述有关的随机事件.,(一)0-1分布,(二)贝努利试验(二项分布),设X是n重贝努利试

18、验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量,于是,称X服从参数为n,p的二项分布,记为Xb(n,p).,当n=1时,PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1,即为0-1分布.,例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数X的分布律.,58,例3.某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。,例4.设有同类型设备80台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责20台；其二

19、是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障但不能及时维修的概率大小。,(三)泊松分布(Poisson),泊松分布有很多应用.通常用来刻画一段间隔中某类事件发生的次数,例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数，某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等都服从泊松分布.,(四)几何分布,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,则X的分布律为:,PX=k=qk-1p,k=1,2,称为X服从参数为p的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖

20、下次继续再买1张,直到中奖为止,求购买次数X的分布律.,若该人共准备购买10次,共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数Y的分布律.,3 随机变量的分布函数,1.定义：设r.v.X,xR1,则 F(x)=P Xx 称为X的分布函数.,(1)P x1Xx2,=PX x2-PX x1,=F(x2)-F(x1).,无论是离散型r.v.还是非离散型r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性，但我们看到分布函数是一个普通函数。,2.性质:,(1)F(x)是单调不减函数.,x2x1,F(x2)F(x1),(2)0F(x)1,F(-)=0,F(+)=1.,(3)F(x

21、)是右连续的,即 F(x+0)=F(x).,例1.离散型r.v.,已知其分布律可求出分布函数.X-1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 求:X的分布函数,并求 P X1/2,P3/2X5/2.,4.连续型随机变量及其概率密度,则称X为连续型r.v.f(x)称为X概率密度函数,简称概率密度.,(1)连续型r.v.的分布函数是连续函数.,(2)设X为连续型r.v.它取任一指定的实 数值a的概率均为0.即PX=a=0.,例1.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求X的分布函数与密度函数.,68,4.

22、几个常用的连续型r.v.分布,(一)均匀分布:,则称随机变量X在(a,b)上服从均匀分布,记作XU(a,b).,分布函数为:,(二)指数分布:,1.定义:,如果连续型随机变量X的概率密度为:,指数分布的无记忆性:,(三)正态分布:,性质:,如何计算?,(2)标准正态分布:,引理:,例:若XN(,),则X落入区间:-,+,-2,+2,-3,+3的概率为多少?,标准正态分布的上分位点:,z,(x),O,2.特例:,(1,)是参数为的指数分布.（=1）,3.伽玛函数的性质:,(i)(+1)=();,(ii)对于正整数n,(n+1)=n!;,(四)伽玛分布:,1.定义:,如果连续型随机变量X的概率密度

23、为:,5.随机变量的函数的分布,一、X为离散型r.v.,例1.设X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4,1.离散r.v.分布函数的概率分布的求法:设X的概率分布如下表:X x1 x2 xk PX=xi p1 p2 pk.,(1)记yi=g(xi)(i=1,2,)yi的值也是互不相同的,则Y的概率分布如下表:Y y1 y2 yk PY=yi)p1 p2 pk.,(2)若g(x1),g(x2),中不是互不相等的,则应将那些相等的值只写一次,但把各自所对应的概率相加,就得到了Y的概率分布律.,二、X为连续型r.v.,1.“分布函数法”:

24、,(1)先求出Y的分布函数:FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXG,转化为关于X的事件,再利用X的分布函数表示.,(2)对y求导得到Y的概率密度:fY(y)=FY(y).,例4.r.v.XN(,2),证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布.,若f(x)在有限区间a,b以外等于零,则只需假设在a,b上g(x)严格单调,选取=min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).,2.定理:设X是连续型r.v.,具有概率密度f(x),设y=g(x)是x的严格单调函数,且反函数x=h(y)具有连续的导函数.当g(x)严格增加时,记=g(-),=g(+);当g(x)严格减少时,记=g

25、(+),=g(-),则Y的概率密度为:,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1.二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是 S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?,2.二维r.v.(联合)分布函数:,84,图2,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似.,若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部

26、分的概率(如图1),图1,3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,(二)二维连续型r.v.,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,若已知联合分布律,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,三、边缘概率密度:,注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分

27、布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.,3.条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1.设(X,Y)的分布律为:X 5 7 13 18 20 1 0.08 0.01 0 0.02 0.14 2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04 3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09求在X=2时Y的条件分布律.,Y,例2 一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型r.v.,首先引入条件分布函数,然后得到条件

28、概率密度.,例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.,4.相互独立的随机变量,1.定义:,2.等价定义:,任何常数与随机变量都相互独立。,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0。,5.两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布:,已知(X,Y)的联合密度是f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.,例1.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,结论:,105,106,(二)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:,设X,Y相互独立,分

29、布函数分别为FX(x)和FY(y).求M=max(X,Y)的分布,推广:设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为F1(x),F2(x),Fn(x),则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z)F2(z)Fn(z)N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地,当X1,X2,Xn 独立同分布时,设分布函数为F(x),则 FM(z)=(F(z)n,FN(z)=1-(1-F(z)n.,(三)离散型r.v.的函数的分布:,例 设X,Y是相互独立,分别服从参数为1,2的泊松分布,试证明Z=X+Y服从参数为1+

30、2泊松分布.,第四章 随机变量的数字特征,1.随机变量的数学期望,112,例1.甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为:X1 0 1 2 X2 0 1 2pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1试评定他们的成绩好坏.,3.随机变量函数的数学期望公式:,说明:1.我们求E(Y)时不必知道Y的分布,只需知道X的分布就可以了.,2.上述定理可以推广到多维r.v.函数.,4.均值的性质:,(1)E(c)=c;(c为常数),说明:i.性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v.(X1,X2,Xn)的情况.,(2)E(cX)=cE(X);(c为常数),(3)E(X+

31、Y)=E(X)+E(Y);,(4)设X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);,(5)|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦兹不等式),ii.对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立;对于“积”要求X1,X2,Xn相互独立.,2.方 差,方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度。,定义：,常用的计算公式：,二、方差的性质及切比雪夫不等式：,1.性质:,10 设C是常数,则D(C)=0;,20 设X是r.v.,C是常数,则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X,Y是两个随机变量,则有 D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-EX)(Y-EY);,40 D(X)=0的充要

32、条件是X以概率1取常数C,即 PX=C=1.,2.切比雪夫不等式:,3.几种重要r.v.的数学期望及方差,1.一些常用的离散型r.v.的均值及方差:,10 0-1分布:(参见例1).,2.一些常用的连续型r.v.的均值及方差:,4.协方差和相关系数,(i)Cov(X,X)=D(X).,(ii)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,(iii)对于任意两个和Y,有 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).,(二)协方差的性质:,10 Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,20 Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其 中a1,a2,b1,b2是常数;

33、,30 Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);,40 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0,即不相关.,定理说明了相关系数XY刻划了X,Y之间的线性相关关系,当XY=0时,我们称X,Y不相关.(这里是指它们之间没有线性相关关系.),130,例1.设(X,Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数.,131,由第三章我们曾证明过的一个命题,设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.知X与Y不相关与X和Y相互独立是等价的.,5.矩、协方差矩阵,一.定义:设X和Y是随机变量,(1)若E(Xk),k=1,2,存在,则称它为X的k阶原点矩.,(2)若E

34、X-E(X)k,k=1,2,存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3)若EXkYl,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.,(4)若EX-E(X)kY-E(Y)l,k,l=1,2,存在,则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,三.n维正态变量:,2.性质:,10 n维r.v.(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的的充要条件是X1,X2,Xn的任一线性组合 l1X1+l2X2+ln Xn服从一维正态分布.,20若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,Yn是Xj(j=1,2,n)的线性函数,则(Y1,Y2,Yn)也服从多维正态分布.,30 若(X1,X2,Xn)服从

35、n维正态分布,则“X1,X2,Xn”相互独立与“X1,X2,Xn”两两 不相关是等价的.,第五章 大数定律及中心极限定理,1.大数定律,一依概率收敛定义:,二、定理:(切比雪夫大数定律),设1,X2,Xn,相互独立,且具有相同的数学期望和方差:,三.贝努利定理:,设nA是n次独立重复试验中A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则,贝努利定理说明,事件A发生的频率nA/n依概率收敛到事件A发生的概率p,这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性,就是说,当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率.,2.中心极限定理,一.独立同分布的中心极限定理:,设 r.v.Xk(k=1,2,)相互独立,服从同一分布(i.i.d.)且具有有限的数学期望和方差:,140,二.德莫佛-拉普拉斯定理:,例2.一船舶在某海区航行,已知每遭受一次波浪的冲击,纵摇角大于30的概率p=1/3,若船舶遭受了90000次波浪冲击,问其中有2950030500次纵摇角大于30概率是多少?,例3.工人装配某种零件，装配一个需要2分钟，若装配不合格要重新装配，则要再花2分钟，假定第二次装配一定能装配好。设每个零件需要重新装配的概率为0.3，工人每天工作8小时，任务是装配180个零件，求工人每天不能完成任务的概率的近似值?,