运筹学课件第八章图与网络分析.ppt

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1、2023/9/14,运筹学,第八章 图与网络分析,图的基本知识最短路径问题网络最大流问题网络最小费用流问题,2023/9/14,运筹学,1.图的基本知识一、图,1、图：由一些点及一些点的连线所组成的图形。若V=V1,V2,Vn是空间n个点的集合 E=e1,e2,em是空间m个点的集合满足1)V非空 2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点 3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.则由V、E构成的二元组合G=(V，E)就是图。2、子图：已知图G1（V1，E1）若V1 V，E1 E 则称图G1（V1，E1）是图G=(V，E)的子图3、若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。4、多

2、重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。多重图：含有多重边的图。5、简单图：无环、无多重边的图。,2023/9/14,运筹学,二、连通图,1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1,ei1,vi2,ei2,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=vit,vit+1(t=1,2,k-1)，则称为一条联结vi1和vik的链，称点vi2,vi3,vik-1为链的中间点。2、圈：链(vi1,vi2,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一个圈。3、简单链：若链(vi1,vi2,vik)中，点vi1,vi2,vik都是不同的，则称之为简单链。4、连通图：图G中，若

3、任何两个点之间，至少有一条链。,2023/9/14,运筹学,三、树,1、定义：一个无圈的连通图称为树。2、树的性质：1）图G是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。2）在树中去掉任意一条边则构成一个不连通图，不再是树；在树中不相邻的两点之间添加一条边，恰好形成了一个圈，也就不再是树。3）树中顶点的个数为P，则其边数必为P-1。,2023/9/14,运筹学,3、支撑树：设图T=(V,E)是图G（V，E）的支撑子图，如果图T=(V,E)是一个树，则称T是G的一个支撑树。4、寻找支撑树的方法1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉任一边，对余下的图重复上述操作，即可得到一个支撑树。2）避圈法

4、：每一步选取与已选的边构不成圈的边，直到不能继续为止。,2023/9/14,运筹学,5、最小支撑树1）赋权图：给图G=(V,E)，对G中的每一条边vi,vj，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋权图，wij称为边vi,vj上的权。2）最小支撑树：如果T=(V,E)是G的一个支撑树，称E中所有边的权之和为支撑树T的权，记为w(T)，即 w(T)=wij(vi,vj)T如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最小者，则称T*是G的最小支撑树(简称最小树)w(T*)=min w(T),T,2023/9/14,运筹学,3）求最小树的方法：方法一(避圈法)开始选一条最小权的边，以后每一步中

5、，总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的边不构成圈。方法二(破圈法)任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小树。,例 用破圈法求下图的最小树,1,2,2,2,2,3,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,2023/9/14,运筹学,四、一笔划问题,1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的次，记为d(V)。2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两倍，即设q边数，则d(vi)=2q，其中viV3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。4、任一图中，奇点的个数为偶数。5、一笔划：可以一笔划：

6、没有或仅有两个奇次点的图形 如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。两个奇次点：分别选为起点和终点。,2023/9/14,运筹学,五、有向图,1、无向图：G（V，E）点集+边集2、弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。弧集：A=a1,a1,am3、有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A分别是D的点集合和弧集合。4、环：某一条孤起点=终点，称为环。5、基础图：给定一个有向图D=(V,A)，从D中去掉所有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。,2023/9/14,运筹学,6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果

7、这个序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的一条链。7、路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,k-1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。8、回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。,2023/9/14,运筹学,六、图的矩阵表示,1、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij,构造矩阵A=（aij）nn,其中：wij（vi,vj）E 0 其他称矩阵A为网络G的权矩阵。2、对于图G=（V，E），V=n,构造一个矩阵A=（aij）nn,其

8、中：wij（vi,vj）E 0 其他称矩阵A为网络G的权。,2023/9/14,运筹学,第二节 最短路问题,一、引例：如下图中V1：油田，V9：原油加工厂求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。,V1,V4,V2,V3,V6,V9,V8,V7,V5,4,2,4,6,6,2,3,4,4,4,2,2023/9/14,运筹学,二、最短路算法,1、情况一：wij0(E.W.Eijkstra算法)原理：Bellman最优性定理方法：图上作业法（标号法）标号：对于点,若已求出到Vi的最短值，标号（i,i)i：表示到的最短路值 i:表示最短路中最后经过的点标号法步骤：1）给V1标号(0,Vs)2）把所有顶点分

9、成两部分,X：已标号的点；X未标号的点考虑与已标号点相邻的弧是存在这样的弧（Vi，Vj）,Vi X,Vj X若不存在，此问题无解，否则转3）3）选取未标号中所有入线的起点与未标号的点Vj进行计算:mini+wij=j并对其进行标号(j,Vi)，重复2）,2023/9/14,运筹学,2、情况二：wij0设从V1到Vj(j=1,2,t)的最短路长为P1jV1到Vj无任何中间点 P1j（1）=wijV1到Vj中间最多经过一个点 P1j（2）=min P1j（1）+wijV1到Vj中间最多经过两个点 P1j（3）=min P1j（2）+wij.V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（t-1）=min

10、 P1j（t-2）+wij终止原则：1）当P1j（k）=P1j（k+1）可停止，最短路P1j*=P1j（k）2）当P1j（t-1）=P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t），若P1j（t）=P1j（t-1），则原问题无解，存在负回路。,2023/9/14,运筹学,例：求下图所示有向图中从v1到各点的最短路。,v1,v4,v2,v3,v5,v6,v7,v8,2,5,-3,4,6,7,4,-2,3,-1,-3,4,2,2023/9/14,运筹学,wij d(t)(v1,vj),v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8,v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,0,2,5,-3,0,

11、-2,4,0,6,4,0,0,-3,0,7,2,0,3,2,0,t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6,0,2,5,-3,0,2,0,-3,6,11,0,2,0,-3,6,6,15,0,2,0,-3,3,6,14,10,0,2,0,-3,3,6,9,10,0,2,0,-3,3,6,9,10,说明：表中空格处为+。,2023/9/14,运筹学,例 设备更新问题,制订一设备更新问题，使得总费用最小,第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 购买费 13 14 16 19 24 使用年数 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 维修费 8 10 13 18 27,解设以vi(i=1,2,3,4

12、,5)表示“第i年初购进一台新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧(vi,vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使用到第j年初”这一方案，以wij表示这一方案所需购置费和维护费之和。,2023/9/14,运筹学,这样，可建立本例的网络模型。于是，该问题就可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。,用Dijkstra标号法，求得最短路为 v1v3v6,即第一年初购置的设备使用到第三年初予以更新，然后一直使用到第五年末。这样五年的总费用最少，为78。,2023/9/14,运筹学,v1,v2,v3,v5,v6,v4,21,44,32,22,89,62,31,63,45,24,4

13、7,34,27,37,32,(0，Vs),(0，V1),(31,V1),(44,V1),(62,V1),(78,V3),2023/9/14,运筹学,第三节 最大流问题,如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上的容量，问：该网络的最大流量是多少？,vs,v2,v1,v3,v4,vt,4,3,2,3,1,2,2,3,4,2023/9/14,运筹学,一、基本概念和基本定理,1、网络与流定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧(vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。

14、网络的流：定义在弧集合A上的一个函数f=f(vi,vj)，称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记fij。,2023/9/14,运筹学,2、可行流与最大流,定义2 满足下列条件的流称为可行流：,1)0 fijcij,2)平衡条件：中间点,fij=fji,(vi,vj)A,(vj,vi)A,发点vs,fsj fjs=v(f),(vs,vj)A,(vj,vs)A,ftj fjt=v(f),(vt,vj)A,收点vt，,(vj,vt)A,式中v(f)称为这个可行流的流量，即发点的净输出量（或收点的净输入量）。,2023/9/14,运筹学,最大流问题：求一流fij满足,0 fijcij,v(

15、f)i=sfijfji=0 is，t v(f)i=t,且使v(f)达到最大。,2023/9/14,运筹学,3、增广链,给定可行流f=fij，使fij=cij的弧称为饱和弧，使fij0的弧称为非零流弧。,若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：,前向弧：弧的方向与链的方向一致 全体+,后向弧：弧的方向与链的方向相反 全体,定义3 设f是一可行流，是从vs到vt的一条链，若满足下列条件，则称之为（关于流f的）一条增广链：在弧(vi,vj)+上，0fijcij 在弧(vi,vj)上，0fijcij,2023/9/14,运筹学,4、截集与截量,定义4

16、 给定网络D=(V,A,C)，若点集V被剖分为两个非空集合V1和V1，使vsV1，,vtV1，则把弧集(V1,V1)称为是（分离vs和vt的）截集。,截集是从vs到vt的必经之路。,定义5 给定一截集(V1,V1)，把截集(V1,V1)中所有弧的容量之和称为这个截集的容量(截量),记为C(V1,V1)。,v(f)C(V1,V1),2023/9/14,运筹学,若对于一可行流f*，网络中有一截集(V1*,V1*)，使得v(f*)=C(V1*,V1*)，则f必是最大流，而(V1*,V1*)，必定是容量最小的截集，即最小截集。,定理1 可行流f*是最大流的充要条件是不存在关于f*的最大流。,若f*是最

17、大流，则网络中必存在一个截集(V1*,V1*)，使得 v(f*)=C(V1*,V1*),定理2 任一网络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的截量。,2023/9/14,运筹学,步骤：,2、标号过程,1、选取一个可行流（可选择零流弧）,从Vs出发，在前向弧上(vi,vj)，若fij0，则给vj标号(Vi,l(vj)，其中l(vj)=minl(vi)，fji。,二、寻找最大流的标号法(Ford Fulkerson),思想：从一可行流出发，检查关于此流是否存在增广链。若存在增广链，则增大流量，使此链变为非增广链；这时再检查是非还有增广链，若还有，继续调整，直至不存在增广链为

18、止。,2023/9/14,运筹学,3、若标号延续到vt，表明得到一条从vs到vt的增广链，转入调整阶段4，否则当前流即为最大流。,4、调整过程,令调整量为=l(vt),令 fij+(vi,vj)+fij=fij(vi,vj)fij(vi,vj),去掉所有的标号，对新的可行流f=fij，重新进入标号过程。,2023/9/14,运筹学,可结合下图理解其实际涵义。,vs,v1,v2,v3,v4,vt,(4,4),(8,1),(4,3),(2,2),(4,0),(2,2),(1,1),(7,2),(9,2),2023/9/14,运筹学,vs,v1,vt,v4,v2,v3,(9,7),(5,3),(3,

19、2),(4,4),(5,5),(3,1),(2,1),(6,3),(7,7),例 求下列网络的最大流与最小截集。,解一、标号过程,（2）检查vs,在弧(vs,v1)上,fs1=7,cs1=9,fs1cs1,则v1的标号为(vs,l(v1)，其中,2023/9/14,运筹学,l(v1)=minl(vs)，cs1fs1=min+，9 2=2,（3）检查v1,在弧(v1,v4)上,f14=7,c14=9,f14c14,则v4的标号为(v1,l(v4)，其中,l(v4)=minl(v1)，c14f14=min2，3-1=2,（4）检查v4,在弧(v3,v4)上,f14=10，,则v3的标号为(-v4,

20、l(v3)，其中,l(v3)=minl(v4)，f34=min2，1=1,（5）检查v3,在弧(v3,vt)上,f3t=3,c3t=6,f3tc3t,2023/9/14,运筹学,则vt的标号为(v3,l(vt)，其中,l(vt)=minl(v3)，c3tf3t=min1，6-3=1,这样，我们得到了一增广链,如图所示。,vs,v1,vt,v4,v2,v3,(9,7),(5,3),(3,2),(4,4),(5,5),(3,1),(2,1),(6,3),(7,7),(0,),(vs,2),(v1,2),(-v4,1),(v3,1),其中+=(vs,v1),(v1,v4),(v3,vt)，=(v3,

21、v4),2023/9/14,运筹学,二、调整过程,取调整量为=1，在上调整f。,在+上：fs1+=7+1=8 f14+=2+1=3 f4t+=5+1=6,在上：f43=11=0,其余弧上的流量不变，这样得到一个新的流，如下图所示。,s,1,v,t,v,4,v,2,3,(9,8),(,5,3),(,3,2),(,5,5),(,3,2),(,2,0),(,6,4),(,7,7),2023/9/14,运筹学,在上图中重复上述标号过程，依次给vs,v2,v1,v4标号后，由于标号无法继续下去，算法结束。这时的流为最大流，最大流的流量为,v,v,v,(,4,4),v(f)=8+3=11,与此同时，可找到最小截集(V1,V1)，其中V1为标号点集合，V1为未标号点集合，弧集合(V1,V1)即为最小截集。,此例中，V1=vs,v2,v1,v4,V1=v3,vt,(V1,V1)=(v1,v3)，(v4,vt),