空间解析几何基本知识.ppt

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1、1,7.1 空间解析几何基本知识7.2 多元函数的概念、二元函数的极限与连续7.3 偏导数7.4 全微分及其应用7.5 多元复合函数与隐函数的微分法7.6 多元函数的极值7.7 多元函数最值及应用7.8*最小二乘法,第七章 多元函数微分学,2,本章将在一元函数微分法的基础上,来研究多元函数的微分法.因为从一元函数到二元函数将会面临一些新问题,而从二元函数到二元以上的多元函数,可完全类推.,故本章主要研究二元函数的微分法及其应用.要研究多元函,数,需首先介绍一些空间解析几何知识.,现就必备知识作简单,介绍.,3,7.1 空间解析几何基本知识,一.空间直角坐标系,三.空间曲面与方程,二.空间两点间

2、的距离,四.空间曲线的一般方程,五.空间曲线在坐标面上的投影,4,要求大家了解空间解析几何的初步知识.下面仅简要地介绍有关解空间解析几何的一些基本概念.,1.空间直角坐标系及空间中的点与坐标,一.空间直角坐标系,过空间中的一个定点O,作三条相互垂直的直线,再规定一个长度单位和按照右手螺旋法则去确定,的正方向,就构成一个空间直角坐标系,并,记为,5,在空间直角坐标系,称为坐标原点;,称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)及z轴(竖轴),任意两条坐标轴构成的平面称为坐标面,分别简称为xy平面.,yz平面及 zx平坐标面;,且它们将空间分割成八个,部分,称每一个,部分为一个卦限.,其几何直观,如下图:,中,

3、点O,并统称为坐标轴.,分别,6,x,y,z,以后依次称为第、卦限.,把含三个坐标轴正方向的那个卦限为第一卦限.如图:,在xy坐标平面的上部,依次称为第、卦限.,在xy坐标平面的下部与第一卦限相对应的称为第卦限;,7,对于空间中的任意点M，过点M作三个平面分别垂直于三条,依次为x、y、z;这样空间的点,z,y,O,x,P,Q,R,M,在建立了空间直角坐标系后，就可以建立空间的点与有序数,组(x,y,z)之间的对应关系.,且与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R.,坐标轴.,(如图),P、Q、R三点在三个坐标轴上的坐标,M就唯一确定了一个三元有序数组,(x,y,z).,8,y、z称为点M的横坐

4、标、纵坐标及,找出坐标为x、y、z 的三点P、Q、R.,z,y,O,x,P,Q,R,M,并把有序数组(x,y,z)称为点M的空间直角坐标,并依次把 x、,竖坐标,记为M(x,y,z).,反之,对于任给的三元有序数组(x,y,z),可依次在 x 轴、y轴、z轴上分别,任一点M和一个三元有序数组(x,y,z)建立了,三个平面的交点M,就是以数组(x,y,z)为坐标的点.这样空间,然后过此三点作是三个平面分别垂直于,x轴、y轴、z轴,这,一一对应关系.,O,x,P,Q,R,M,9,x,y,z,yz面上点的坐标为(0,y,z),x轴上点的坐标为(x,0,0),y轴上点的坐标为(0,y,0),z轴上点的

5、坐标为(0,0,z),xy面上点的坐标为(x,y,0),xz面上点的坐标为(x,0,z),由以上规定知道:,坐标原点O的坐标为(0,0,0),10,二.空间两点间的距离,间的距离 d 为,这与平面解析几何中两点间的距离公式是一样的.,过 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.,这六个平面围成一个以,为对角线的长方体;,(如下图),11,z,y,O,x,12,特别地,空间任一点M(x,y,z),例 已知两点(1,0,2),(3,2,4)，求此两点间的距离.,z,y,O,x,到原点O的距离为:,解,13,例1,解,由题意，得,解得,于是所求点为,14,与平面解析几何相仿,空间解析几何,三.空间曲面与

6、方程,图形和代数方程联系起来.,1.曲面的一般方程,由平面解析几何知识知，在平面直角坐标系中图形和代数,方程之间有如下联系.,平面解析几何,图形曲线,(二元)方程,15,有如下关系：,(7.1.3),16,图,17,1)平面,例2 一动点M(x,y,z)与两定点 A(1,2,3)和 B(2,1,4),故M(x,y,z)的轨迹方程,的距离相等,求此动点M的轨迹方程.,(即A、B两点连线的垂直平分面的,方程)为,解,两端平方化简,得,2常见曲面,18,注 到两定点 A 和 B 的距离相等的动点 M 的轨迹称为连接,这两定点的线段 AB 的垂直平分面.例3的方程就是线段 AB 的,垂直平分面的方程.

7、,Ax+By+Cz+D=0,一般地,x,y,z的三元一次方程,表示空间中的平面,其中A、B、C、D为任意常数,且A、B、C,(7.1.4),下面讨论方程(7.1.4)的一些特殊情形,19,如图7.1.6.,图,图7.1.7(a),图7.1.7(b),20,图,如图;,21,空间直角坐标系中,通过上面的讨论表明,空间平面与三元一次方程之间具有,如下的一一对应关系.,重要结论:平面方程均为一次方程.,22,解,设所求平面方程为,满足方程,从而有,23,解得,从而所求平面方程为,如图7.1.9：,图,24,2)常见二次曲面及方程,(1)球面,由距离公式(7.1.1),得,即,(7.1.6),25,特

8、别地,以原点为球心,R为半径的球面方程为,方程(7.1.6)就是满足已知条件的球面方程.该方程可以写成,下述形式,26,(2)母线平行于坐标轴的柱面,定义 在空间中,动直线 L 沿着给定曲线 C 平行移动所生,成的曲面,称为柱面.,动直线 L 称为柱面的母线,定曲线 C 称为柱面的准线.,如图.,图,图,27,母线平行于坐标轴的柱面方程的求法：,求以 xy 坐标平面上的曲线,为准线,母线平行于 z 轴的柱面方程.(如图7.1.11),图,28,而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xy 坐标平,面的交点必不在准线 C 上,即是说不在柱面上的点的坐标必不,满足方程,综上所述,不含变量 z 的

9、方程,(7.1.7),在空间表示以 xy 坐标平面上的曲线为准线,母线平行于 z 轴,的柱面.,类似地,不含变量 x 的方程,29,在空间表示以 yz 坐标平面上的曲线为准线,母线平行于 x 轴,的柱面.,上的曲线为准线,母线平行于 y 轴的柱面.,母线平行于 z 轴的柱面,称为圆柱面,如图7.1.12.,图,30,准线,母线平行于 z 轴的柱面,称为抛物柱面,如图7.1.13.,图,图,图,线平行于y 轴的柱面,称为椭圆柱面,如图7.1.14.,母线平行于 z 轴的双曲柱面,如图7.1.15.,31,(3)以坐标轴为旋转轴的旋转曲面,定义 平面曲线 C 绕着该平面上的一条定直线 L 旋转一,

10、周所形成的曲面称为旋转曲面.定直线L称为旋转轴,平面曲线,C 称为母线,如图7.1.16.,图,求以 yz 坐标平面上的曲线C(为母线),绕着z 轴旋转一周所生成旋转曲面 的方程.,如图.,图,32,而点 M可由点 M0绕 z 轴旋转得到,所以有,(7.1.8),而由两点间的距离公式,有,则,(7.1.9),由点 M0在曲线C上,所以,33,将(7.1.8)、(7.1.9)代入上式,即得旋转曲面的方程.,一般地,当坐标面上的曲线C 绕着该坐标面上的一条坐标轴旋,转时,为了求出这个旋转曲面的方程,只要将曲线 C 的方程中保,留和旋转轴同名的坐标,而用其它两个坐标平方和的平方根来代,替方程中的另一

11、坐标即可.,34,而 yz 坐标平面上的抛物线,绕着 z 轴旋转或者xz 坐标平面上的抛物线,绕z 轴旋转而成的旋转曲面,方程皆为,(7.1.10),称为旋转抛物面,如图7.1.19.,图,图,所得的圆锥面,如图7.1.18,点O称为圆锥的顶点.,35,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,关于一般三元二次方程所表示的曲面形状,很难用描点的方,法得到,但是,我们可以观察用坐标面以及平行于坐标面的平,面去截割曲面而得到的截痕曲线形状,去想象随着平面平行移,动时曲面的大致形状,从而大概了解曲面的全貌.这种方法称,为截割法(截痕法).,例如,旋转抛物面(7.1.10)的特征是:以平行于xy 坐标平

12、面的,去截曲面而得到的截痕曲线是圆,而 xz 坐标面、yz坐标面或,平面,36,平行于xz 坐标面、yz坐标面的平面去,截曲面而得到的截痕都是抛物线.如图7.1.19.,例4 用截割法作椭球面,(7.1.11),的图形.,图,解,等时,(7.1.11)表示旋转椭球面.,37,由方程(7.1.11)可知,为界限的长方体内.,再来考察椭球面与坐标面以及平行于坐标面的平面的截痕.,方程(7.1.11)中令 z=0,得到椭球面与 xy 坐标平面的截痕线为椭圆,38,同理,与 yz、xz 的坐标面的截痕线分别为,即,痕线为,39,面平行的平面 z=h上;当 h=0时,截痕线在xy面上,且所截得的,椭圆最

13、大.当,由零逐渐增大时,两个半轴逐渐减小,椭圆逐渐,当 h=c时,椭圆收缩为两个点,同理,用分别平行于xz、yz坐标面的平面截椭球面,也有同样的结果.因此,椭球面的图形如图.,图,收缩;,截痕.,40,类似地,可以利用截痕法讨论其他二次曲面的图形.,双曲面,(1)单叶双曲面,如图7.1.22.,图,41,(2)双叶双曲面,如图7.1.23.,42,椭圆锥面,如图,图,43,(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,(p,q 同号),如图7.1.26,图,抛物面,(1)椭圆抛物面,如图,(p,q 同号),图,44,例 考察下列的图形方程:,(1)2x z=0(2)2x+y+2z=4,解(1)由方程 2x z

14、=0 不含 y 知:D=0.,则曲面过原点.,且无论 y 取何值,都有,Y=a去截曲面,其截痕都是直线,2x z=0,即用平行于 xz 面的任何平面,故该方程的图形是经过 y 轴且与x z面的交线为 2x z=0,且过原点的平面.,45,此即为平面的截距式方程.,它与x、y、z轴的交点分别为(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2).,解 由方程 2x+y+2z=4有,(2)2x+y+2z=4,z,y,O,x,2,4,2,46,半径为R的圆.,在空间，因方程,z,y,x,且圆的大小与c无关.,o,解 在xy面上，方程,表示以原点为圆心，,用平面z=c去截曲面，,不含z，则 z 可取,任意值

15、,其截口线为圆,47,z,y,x,o,用平面 x=a去截曲面,其截痕为直线,48,z,y,x,o,用平面 y=b去截曲面,其截痕为直线,49,解 用平面z=c(c0)去截曲面,其截痕为圆,当c=0时,只有原点(0,0,0)满足此方程；,若用平面x=a或y=b去截曲面,其截痕为抛物线.,当c0时,其截痕为以(0,0,c)为圆心,以,显然 c 越大，其截痕圆越大.,z,y,O,x,为半径的圆.,50,解 因方程缺 y、z，,分别过点(2,0,0)或(2,0,0)的两个平面.,则等价于方程的图形是平行于 y z平面且,注3 在空间解析几何中,若方程缺一个变量,则其图形必平行于坐标面.,则其图形必平行,于坐标轴;,若方程缺两个变量,所确定的曲面，称为,注4 方程,椭球面(如图),z,b,x,y,O,a,c,51,四.空间曲线的一般方程,称此方程为空间曲线的一般方程.,例5 下列方程组表示什么曲线？,(7.1.12),52,(1),(2),如右图,53,把(2)写成同解方程组,如右图,54,五.空间曲线在坐标面上的投影,面的投影柱面及投影曲线.,在二重积分的计算中,经常需要确定一个空间立体或空间曲,面在坐标面上的投影区域.,55,投影曲线方程的求法:,56,例6 求曲线,解,57,即,圆柱面的方程,