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1、第六章 离散系统z域分析,6.1 z 变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2 z 变换的性质6.3 逆z变换6.4 z 域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、s域与z域的关系四、系统的频率响应五、借助DTFT求离散系统的频率响应,点击目录,进入相关章节,第六章 离散系统z域分析,在连续系统中,为了避开解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机,也可以通过一种称为z变换的数学工具,把差分方程转换为代数方程。,6.1 z变换,一、从拉普拉斯到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后,就得到离散信号。,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换,得,第六章 离散系
2、统z域分析,令z=esT,上式将成为复变量z的函数,用F(z)表示;f(kT)f(k),得,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列,则单边、双边z 变换相等,否则不等。今后在不致混淆的情况下,统称它们为z变换。,F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z);f(k)F(z),6.1 z变换,6.1 z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和,显然只有当该幂级数收敛,即,时,其z变换才存在。上式称为绝对可和条件,它是序列f(k)的z变换存在的充分条件。,收敛域的定义:,对于序列f(k),满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,(1)
3、整个z平面收敛;,6.1 z变换,6.1 z变换,例1 求以下有限序列的z变换(1)f1(k)=(k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1,解(1),可见,其单边、双边z变换相等。与z 无关,所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f(k)的双边z 变换为,F(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2,收敛域为0z,f(k)的单边z 变换为,收敛域为z 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z,有时它在0或/和也收敛。,(2)部分z平面收敛;,6.1 z变换,例2 求因果序列,的z变换(式中a为常数)。,解:代入定义,可见,仅当az-1a 时,其z变换存在。,收敛域为|z|a|,6.1 z变
4、换,例3 求反因果序列,的z变换。,解:,可见,b-1z1,即zb时,其z变换存在,,收敛域为|z|b|,6.1 z变换,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z变换。,可见,其收敛域为azb,ab,6.1 z变换,(3)整个z平面均不收敛;,6.1 z变换,例5 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解:,的z变换。,ab,z b,z a,6.1 z变换,(1)对于有限长的序列,其双边z变换在整个平面收敛;(2)对因果序列,其z变换的收敛域为某个圆外区域;(3)对反因果序列,其z变换的收敛域为某个圆内区域;(4)对双边序列,其z变换(若存在)收敛域为环状区域。,序列
5、的收敛域大致有以下几种情况:,6.1 z变换,6.1 z变换,注意:对双边z变换必须表明收敛域,否则其对应的原序列将不唯一。,例,z2,z2,对单边z变换,其收敛域比较简单,一定是某个圆以外的区域。可以省略。,结论:,6.1 z变换,常用序列的z变换:,(k),,z1,,z1,(k 1),(k)1,整个z平面,其中:a0,6.2 z变换的性质,6.2 z变换的性质,本节讨论z变换的性质,若无特殊说明,它既适用于单边也适用于双边z变换。,例1:,一、线性,设,则:,注:其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,6.2 z变换的性质,解:,例2:,求 的双边z变换。,6.2 z变换的
6、性质,二、移位(移序)特性,单边、双边差别大!,双边z变换的移位:,若 f(k)F(z),0,则,证明:,单边z变换的移位:,若 f(k)F(z),|z|,且有整数m0,则,6.2 z变换的性质,证明(右移):,上式第二项令k m=n,则:,特例:若f(k)为因果序列,则,即:,6.2 z变换的性质,例1:求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解:,z1,例2:求f(k)=k(k)的单边z变换F(z).,解:,6.2 z变换的性质,三、序列乘(a可为实数、虚数、复数)(z域尺度变换),则,证明:,若a=-1,有,6.2 z变换的性质,例1:,解:,例2:,解:,6.2 z变换的性质,四、
7、卷积性质:,证明:,对单边z变换,要求f1(k)、f2(k)为因果序列,注:其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,6.2 z变换的性质,例:,求 的双边 变换。,解:,6.2 z变换的性质,五、序列乘k(z域微分),设,则,证明:,6.2 z变换的性质,令,则,即:,解:,例:求 的双边 变换。,6.2 z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分),则,证明:,6.2 z变换的性质,例:求序列 的z变换。,解:,若m=0,且k0,则,即,6.2 z变换的性质,设,则,证明:,七、k域反转(仅适用双边z变换),6.2 z变换的性质,利用齐次性,k域和z域同时乘以a得,解:,例
8、1:求,解:,6.2 z变换的性质,八、部分和,若 f(k)F(z),z,则,max(,1)z,证明:,例:求序列(a为实数)(k0)的z变换。,解:,,|z|max(|a|,1),6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列,即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),而不必求得原序列。,初值定理:,如果序列在kM时,f(k)=0,它与象函数的关系为 f(k)F(z),z 则序列的初值,对因果序列f(k),,6.2 z变换的性质,证明:,两边乘zM,得,上式取z,得,6.2 z变换的性质,终值定理:,终值定理适
9、用于右边序列,用于由象函数直接求得序列的终值,而不必求得原序列。,如果序列在kM时,f(k)=0,它与象函数的关系为 f(k)F(z),z 且01 则序列的终值,含单位圆,或,6.2 z变换的性质,证明:,设,上式两边乘以,为整数,在 的收敛域内作围线积分:,柯西公式:,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,一、逆z变换,令,得:,上式称为 F(z)的逆z变换.,Z逆变换的计算方法:,(1)反演积分法(留数法);(2)幂级数展开法;(3)部分分式展开法;(4)用 z 变换性质求逆 z 变换。,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,一般而言,双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2
10、(k)两部分,即,其中,相应地,其z变换也分为两部分,6.3 逆z变换,已知象函数F(z)时,根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z),并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k),根据线性性质,将两者相加得到F(z)所对应的原序列f(k)。,二、幂级数展开法,根据z变换的定义,因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。,6.3 逆z变换,解:,(1)由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外,故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数:,于是,得原序列:,6.3 逆z变换,(2)由于F(z)的收敛域在半径为1的圆内,故f(
11、k)为反因果序列。用长除法将F(z)(其分子、分母按z 的升幂排列)展开为z 的幂级数如下:,于是,得原序列:,6.3 逆z变换,(3)F(z)的收敛域为1z2的环形区域,其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式,有,根据给定的收敛域不难看出,上式第一项属于因果序列的象函数F1(z),第二项属于反因果序列的象函数F2(z),即,6.3 逆z变换,将它们分别展开为z-1及z的幂级数,有,用上述方法求逆z变换,原序列通常难以写成闭合形式。,于是,得原序列:,6.3 逆z变换,三、部分分式展开法,式中mn,(1)F(z)均为单极点,且不为0,式中各系数,所以:,6.3 逆z变换,根据给定
12、的收敛域,将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z)两部分,根据已知的变换对,如,等,就可求得原函数。,6.3 逆z变换,解:部分分式展开为,(1)当z2,f(k)为因果序列,(2)当z1,f(k)为反因果序列,(3)当1z2,f(k)为双边序列,6.3 逆z变换,解:,由收敛域可知,上式前两项的收敛域满足z1,后两项满足z2。,6.3 逆z变换,(2)F(z)有共轭单极点,6.3 逆z变换,解:,6.3 逆z变换,(1)为因果序列,6.3 逆z变换,(3)F(z)有重极点,F(z)展开式中含 项(r1),则逆变换为:,若za,对应原序列为因果序列:,6.3 逆z变换,以za 为例:,当r
13、=3时,为,当r=2时,为,可这样推导记忆:,两边对a求导得:,再对a求导得:,故:,6.3 逆z变换,解:,例1:求逆变换。,解:,6.3 逆z变换,四、用性质求逆z变换,方法1:,方法2:,6.3 逆z变换,例2、因果周期信号 如图,求 的单边 变换。,设第一周期内信号为,则 可表示为,设,6.3 逆z变换,解:,五、反演积分法(留数法)*,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,例:,解:,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,6.4 离散系统的z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中,可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的z域解,设f(k)在
14、k=0时接入,系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。,取单边z变换得:,6.4 离散系统的z域分析,令,称为系统函数。,h(k)H(z),例1:若某系统的差分方程为 y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)+2f(k 2)已知y(1)=2,y(2)=1/2,f(k)=(k)。求系统 的yx(k)、yf(k)、y(k)。,6.4 离散系统的z域分析,6.4 离散系统的z域分析,解:,方程取z变换,得:,整理得:,6.4 离散系统的z域分析,例2:,解:,系统的差分方程为:,1、求完全响应:,由单边z变换的右移性质:,6.4 离散系统的z域分析,解:,根据右移性质,对系统差分方程取
15、单边z变换,得,由上式得:,6.4 离散系统的z域分析,2、求零输入响应,的方程:,根据右移性质,对 的方程取单边 变换,得:,由上式得:,6.4 离散系统的z域分析,3、求零状态响应,的方程:,由右移性质,对 的方程取单边 变换,得,6.4 离散系统的z域分析,说明:前向差分方程的解法:,(1)用左移性质:,初始条件:对、,对、,(2)转变为由后向差分方程,用右移性质求解,,初始条件:对、,对、,若初始条件不适用,则用递推法由相应的差分方程递推得到需要的初始条件。,6.4 离散系统的z域分析,二、系统函数H(z):,1、定义:,2、物理意义:,3、计算:,(1),(2),(3)由系统差分方程
16、求,6.4 离散系统的z域分析,例:,6.4 离散系统的z域分析,解:,由于是零状态响应,对方程取z变换,得:,4、应用:,(4)表示系统特性:频率特性、稳定性等。,(1)求,(2)求,(3)求,6.4 离散系统的z域分析,三、系统的z域框图:,6.4 离散系统的z域分析,6.4 离散系统的z域分析,例1:求图示LTI因果系统的单位序列响应。,x(k),x(k-1),x(k-2),解:,画出z域框图:,X(z),6.4 离散系统的z域分析,由右边加法器可得:,系统函数为:,由部分分式展开得:,由左边加法器可得:,所以系统的单位序列响应为:,6.4 离散系统的z域分析,所以系统的单位序列响应为:
17、,6.4 离散系统的z域分析,例2:求图示LTI因果系统的单位序列响应。,x(k),x(k-1),x(k-2),解:,设一中间变量x(k),则左边的加法器输出为:,右边加法器输出为:,整理得:,例1经典解法,6.4 离散系统的z域分析,所以,图示系统的差分方程为:,k2时,(2)式的零状态响应化为齐次方程:,初始状态:,迭代得:,由(2)得:,6.4 离散系统的z域分析,(3)式的特征根为:,所以:,代入初始条件得:,解得:,由于h(0),h(1)作为初始值代入,因而方程的解也满足k=0和k=1。所以系统的单位序列响应为:,6.4 离散系统的z域分析,复变量s与z的关系:,四、s域与z域的关系
18、,s平面的左半平面(z平面的单位圆内部(z=1),s平面的j轴(=0)-z平面的单位圆(z=1),s平面上的原点(=0,=0)-z平面上z=1的点(=1,=0),s平面的右半平面(0)-z平面的单位圆外部(z=1),6.4 离散系统的z域分析,s平面上实轴(=0)-z平面的正实轴(=0),6.4 离散系统的z域分析,五、离散系统的频率响应:,1、LTI离散系统对正弦序列的响应:,设系统输入,初始时刻,响应为,表示为:,6.4 离散系统的z域分析,(1)系统对 的响应:,设输入,响应为,则,即,6.4 离散系统的z域分析,设 的收敛域含单位圆,令z为:,则,其中,的收敛域含单位圆。,6.4 离散
19、系统的z域分析,(2)系统对 的响应:,设输入,响应为,则,(3)系统对正弦序列的响应:,系统输入,响应为,由系统的线性性质,得:,设,则,称LTI离散系统的正弦稳态响应。,6.4 离散系统的z域分析,2、LTI离散系统的频率响应:,若LTI因果离散系统得系统函数H(z)得收敛域包含单位圆,则 称为LTI因果离散系统的频率响应。其中,称为系统的幅频响应;,称为系统的相频响应;,6.4 离散系统的z域分析,(2)是 的连续函数;,(3)表示系统对不同频率 的正弦序列 的稳态响应特性。,(1)是 的周期函数,周期为;,6.4 离散系统的z域分析,说明:,例1:,为因果信号,系统函数:,6.4 离散系统的z域分析,系统差分方程为:,解:,因为,所以 的收敛域含单位圆,系统的频率响应为:,6.4 离散系统的z域分析,幅频响应曲线:(称数字角频率),6.4 离散系统的z域分析,因为,所以 收敛域包含单位圆。,6.4 离散系统的z域分析,解:,设系统对 的响应为,则,(1),6.4 离散系统的z域分析,设系统对 的响应为,则,(2),6.4 离散系统的z域分析,设系统对 的响应为,则,(3),6.4 离散系统的z域分析,(4)设系统对 的响应为:,6.4 离散系统的z域分析,3、借助DTFT求离散系统的频率响应,
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