离散时间信号与系统.ppt

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1、1,几本有用的参考书,丁玉美，高西全.数字信号处理.西安电子科技大学出版社程佩青.数字信号处理教程.清华大学出版社 程佩青.数字信号处理教程习题分析及解答.清华大学出版社,教材：数字信号处理何方白等 高等教育出版社，2009,2,对连续信号抽样,3,第一章 离散时间信号与系统1.1 离散时间信号序列 信号的幅度和时间可以取连续值也可以取离散值，据此信号可以分为：（1）连续时间信号：时间和幅度均取连续值的信号，也称为模拟信号。（2）离散时间信号：时间上取离散值而幅度是连续变化的信号。（3）数字信号：时间和幅度均取离散值的信号。,4,离散时间信号定义 一个离散时间信号是自变量为整数n的函数，称之为

2、序列。表示为：x(n)-n 为简便起见，直接写成x(n)。注意：x(n)仅仅当 n为整数时才有定义。,5,序列的变化规律可用公式表示，也可用图形来表示。图表示了一个具体的离散时间信号序列，横轴为n。图1.1.1 离散时间信号的图形表示,6,几种常用序列 单位采样序列（单位冲激）（）类似于连续时间信号于系统中的单位冲激函数，但是t=0时脉宽趋于零、幅值趋于无穷大、面积为的信号，是极限概念的信号。而这里 在 时取值为 1。单位采样序列如图所示。图1.1.2 单位采样序列,7,2.单位阶跃序列（）它类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数。但在t=0时常不给予定义，而在时定义为，如图所示。图1.1.

3、3 单位阶跃序列,8,3.矩形序列（）如图所示。一般N称为矩阵序列的长度。图1.1.4 矩形序列、的关系如下：,9,4.实指数序列 为实数（）如图所示。当 时序列是收敛的，而当 时序列时发散的。图1.1.5 实指数序列,10,5.复指数序列（）式中 为数字域频率。复指数序列也可以用其实部虚部或者极坐标表示：如果，由于 只取整数，下面等式成立 上式表明当时，复指数序列的频率具有以为周期的周期性。,11,6.正弦序列 其一般形式为（）式中A为幅度，为初始相位，为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示二个相邻序列值之间变化的弧度数。,12,序列的基本运算 序列的基本运算包

4、括序列的移位、反转、和、积、卷积等。1.移位 序列的移位是指将原序列x(n)逐项依次平移 位而得到的一个新序列。当 为正时，为 依次左移（超前）位，为 依次右移（延时）位。为负时，则相反。例1.1.1，则，如图所示。图1.1.6 序列移位,13,2.反转 反转序列 是原序列 相对于纵轴的镜像。例1.1.2，则，如图所示。图1.1.7 序列的反转,14,3.和 两序列的和是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。例1.1.3 已知二序列如下：则 如图所示。,15,图1.1.8 两序列相加,16,4.积 两序列之积是指它们同序号（n）的序列值逐项对应相乘得到的一个新序列。例1.1

5、.4 x(n),y(n)序列，如上例中图所示。则5.序列乘以常数a 序列乘以常数a是指序列x(n)的每一序号的值都乘以常数a所得到的新序列。,17,6.卷积 设两序列为x(n)、h(n)，则它们的卷积定义为(1.1.7)其中，用“*”来表示卷积。卷积运算在图形表示上可以分为四步：反转、移位、相乘、求和。例1.1.5 试计算图中二序列的卷积 图1.1.9 例的两个序列,18,1.1.3 序列的周期性如果对所有n存在一个最小的正整数N，使x(n)满足（）则称序列x(n)是周期序列，其周期为N。下面讨论正弦序列的周期性由于 则 若 k为整数时，则即,19,这时正弦序列就是周期序列，其周期满足（N,K

6、必须为整数）。具体可分以下三种情况：（1）当 为整数时，只要k=1，就为最小正整数，故正弦序列的周期即为。（2）当 不是整数，而是一个有理数时，k值逐步增加，其取值使 为最小整数，这就是正弦序列的周期。此时，其中k,N是互为素数的整数，（3）当 为无理数时，则任何k都不能使为正整数，此时正弦序列不是周期序列。这和连续信号时是不一样的。同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。,20,例1.1.6 试确定以下序列的周期。(1)(2)1.1.4 序列的能量序列x(n)的能量定义为序列各采样值的平方和，即（）,21,1.2 线性时（移）不变系统一个离散时间系统可由图来表示，即,我们

7、研究的是“线性时（移）不变”的离散时间系统,图1.2.1 离散时间系统,22,1.2.1 线性系统 输入分别为 和 时，其输出分别为 和，即，,当且仅当,(1.2.1),时，该系统称为线性系统。式中a和b为任意常数。,23,1.2.2 时不变系统 若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则称为时不变系统(或称移不变系统)。,即若,则,(1.2.2),其中 为任意整数,24,例1.2.1 试根据 判断系统是否线性系统和时不变系统。解:判断系统的线性 因为,所以,而,因此,所以此系统不是线性系统。,25,判断系统的时不变性 因为,而,由于二者相等，故此系统是时不变系统。,1.2.3 线性时不变系统输

8、入输出的关系,假设系统输入为一般序列 x(n),系统输出为,26,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,（）,(1.2.3)式说明，线性时不变系统的输出序列等于输入序列和系统的单位采样响应的卷积。,27,例1.2.2 设线性时不变系统的单位采样响应，其输入序列，求输出序列y(n)。解:根据线性时不变系统输入输出关系，有,对于,28,离散卷积运算服从交换律、结合律和分配律。即,29,1.2.4 系统的因果性和稳定性1 因果性 指系统n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入序列无关。线性时（移）不变系统具有因果性的充要条件是,，,n0,(1.2.4),式中h(n

9、)为系统的单位采样响应序列。,30,2 稳定性 指对于系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充要条件是系统的单位采样响应绝对可和，即,(1.2.5),31,例1.2.3 已知线性时不变系统的单位采样响应，式中a是实常数，试分析系统的因果稳定性。,解：因为,所以,故该系统是因果系统,又因为,所以 时系统是稳定系统,32,1.3 线性时不变系统的输入输出描述法线性常系统差分方程1.3.1 线性常系数差分方程 一个阶线性常系数差分方程形式如下:,(1.3.1),(1.3.2),或,33,1.3.2 线性常系数差分方程的求解例1.3.1 设因果系统用一阶差分方程 描述，求输入 时系统的输出y(n

10、)。假设初始条件为(1)；(2)。,解:(1)当初始条件为 时，,n=0,n=1,n=2,n=n,所以,34,(2)当初始条件为 时，,n=0,n=1,n=2,n=n,所以,35,实际中的系统都是可实现系统，因此用递推法求解时，总是由初始条件开始向n0方向递推。如不考虑因果性，由递推法解差分方程，可由初始条件向n0方向递推，此时得到的是非因果解。,例中，设初始条件为y(n)=0，n0，求输出y(n)的递推过程如下:,将n-1用n代替，得到,36,1.4 连续时间信号的采样,（a）采样器的原理,（b）实际采样,（c）理想采样,图1.4.1 连续时间信号的采样,37,1.4.1 理想采样 采样过程

11、如图（c）,(l.4.1),理想采样输出为,(1.4.2),把（）式代人（）式，得,(1.4.3),由于 只在t=mT时不为零，故,(1.4.4),38,理想采样后信号频谱的变化,由频域卷积定理，若各傅里叶变换分别表示为,由（）式的关系可知,（1.4.5),可表示为,（1.4.6),39,接下来求,而系数则可表示成,上面考虑到在 的区间内，只有一个冲激，,40,而,时,，都在积分区间之外，且利用了以下关系,因而,（1.4.7),由此得出,由于,（1.4.8),所以,（1.4.9),41,图表示了 和。,图1.4.2 周期冲激序列 与它的傅里叶变换,42,将（）式代入（）式可得,（）,43,（）

12、式表明，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将以 采样频率为间隔而重复，这就是频谱产生周期延拓，如图所示,图1.4.3 连续时间信号采样后，频谱的周期延拓,(a）原限带信号；(b）时；(c)时产生频谱混叠现象,44,理想采样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为，而频谱的幅度则为原模拟信号幅度的。由于T是常数（不是 的函数），所以除了一个常数因子区别外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果 是一个限带信号，其频谱如图1.4.3(a）所示。且最高频谱分量 不超过，即,（）,45,（1）那么原信号的频谱和各次

13、延拓分量的谱彼此不重叠，如图1.4.3(b）所示。这时采用一个截止频率为 的理想低通滤波器，可以不失真地还原出原来的连续信号。（2）如果信号的最高频谱超过，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1.4.3(c）所示。结论：要想采样后能够不失真的还原出原模拟信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（），这就是奈奎斯特采样定理。即,（1.4.13),46,采样的恢复 如果满足奈奎斯特采样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则采样后不会产生频谱混叠，由（）式知,故将 通过以下理想低通滤波器（如图所示）：,就可得到原信号频谱，如图所示，即,47,所以输出端即为原模拟信号,图1.4.4

14、 理想低通滤波器特性,图1.4.5 采样的恢复图,48,下面讨论如何由采样值来恢复原来的模拟信号 理想低通滤波器的冲激响应为,49,由 与h(t）的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为,(1.4.15),50,这就是采样内插公式，即由信号的采样值 经此公式而得到连续信号，而 称为内插函数，如图所示。在每一个采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由各加权采样函数波形的延伸叠加而成，如图所示。,图1.4.6 内插函数,图1.4.7 采样的内插恢复,51,1.4.2 实际采样 由于p(t)是周期函数，故可展成傅里叶级数，有,(1.4.16),同样可

15、求出p(t)的傅里叶系数（注意，p(t)的幅度为l）,(1.4.17),如果，T一定，则随着k的变化，的幅度 将按下式变化，其中,52,类似推导，可以得到采样数据信号的频谱为,(l.4.18),图1.4.8 实际采样时，频谱包络的变化,53,由图可知,由于包络的第一个零点出现在,这要求,所以,由于，因此 包络的第一个零出现在k很大的地方。,54,1.4.3 正弦信号的采样 设连续时间正弦信号为,（）,采样定理要求采样频率大于信号最高频率的两倍,能够无失真地恢复出原始的正弦信号,图1.4.9 正弦信号的采样（）,55,一些结论性的归纳：1对（）式的正弦信号，当采样频率 时，当 时无法恢复原信号x

16、(t)；当 时可以由x(n)重建原信号；当 为已知，且 时，则恢复的不是原信号，而是，经过移位和幅度变换，仍可得到原信号；如果 未知，则根本得不到原信号。2对（）式的信号，由于有三个未知数，只要保证在它的一个周期内均匀地采得三个样值，即可由x(n)准确地重建x(t)。,56,3对离散周期的正弦信号，作截断时，其截断长度必须为此周期信号周期的整倍数，才不会产生离散频谱的泄漏。4正弦信号的采样不宜补零，否则将产生频谱泄漏。5考虑到做DFT时，要求数据点数N 最好为2的整数幂，因而对正弦信号采样时，一个周期内最好采4个点。,57,本章作业,1、设x(n)和y(n)分别表示一个系统的输入和输出，试确定下列系统(a)y(n)=ax2(n)；(b)y(n)=x(n)3；是否为:(1)稳定系统(2)因果系统(3)线性系统，并说明理由。2、设xa(t)cos(650t)+2 sin(720t)(a)xa(t)的奈奎斯特频率是多少？(b)如果xa(t)以此奈奎斯特频率的2倍采样，采样序列中两正弦波的数字频率是多少？3、书P33第1.11题,58,思考题：,已知一个线性时不变系统的单位取样相应除区间N0 n N1之外皆为0；又已知输入x(n)除区间N2 n N3之外皆为0；结果，输出除了在某一区间N4 n N5之外皆为0。试以N0、N1、N2和N3表示N4和N5,