离散数学第二章一阶逻辑.ppt

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1、1,第2章 一阶逻辑,2.1 一阶逻辑基本概念2.2 一阶逻辑合式公式及解释2.3 一阶逻辑等值式,2,2.1 一阶逻辑基本概念,个体词 谓词 量词 一阶逻辑中命题符号化,3,基本概念个体词、谓词、量词,个体词（个体）:所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项：具体的事物，用a,b,c表示 个体变项：抽象的事物，用x,y,z表示 个体域:个体变项的取值范围 有限个体域，如a,b,c,1,2 无限个体域，如N,Z,R,全总个体域:宇宙间一切事物组成,4,基本概念(续),谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词:表示

2、事物的性质 多元谓词(n元谓词,n2):表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，0元谓词:不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项,5,基本概念(续),量词:表示数量的词 全称量词:表示任意的,所有的,一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词:表示存在,有的,至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x,6,一阶逻辑中命题符号化,例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化(1)墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中,设 p:墨西哥位于南美洲 符号化为 p,这是真命题 在一阶逻辑中,设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲

3、 符号化为F(a),7,例1(续),(2)是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中,设 p：是无理数，q：是有理数.符号化为 p q,这是假命题 在一阶逻辑中,设F(x):x是无理数,G(x):x是有理数 符号化为(3)如果23，则33，q：3y，G(x,y)：xy,符号化为 F(2,3)G(3,4),8,一阶逻辑中命题符号化(续),例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)人都爱美;(2)有人用左手写字 分别取(a)D为人类集合,(b)D为全总个体域.解：(a)(1)设G(x)：x爱美,符号化为 x G(x)(2)设G(x)：x用左手写字,符号化为 x G(x)(b)设F(x)：x为人，G(x)：

4、同(a)中(1)x(F(x)G(x)(2)x(F(x)G(x)这是两个基本公式,注意这两个基本公式的使用.,9,一阶逻辑中命题符号化(续),例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)正数都大于负数(2)有的无理数大于有的有理数解 注意:题目中没给个体域,一律用全总个体域(1)令F(x):x为正数,G(y):y为负数,L(x,y):xy x(F(x)y(G(y)L(x,y)或 xy(F(x)G(y)L(x,y)两者等值(2)令F(x):x是无理数,G(y):y是有理数,L(x,y)：xy x(F(x)y(G(y)L(x,y)或 xy(F(x)G(y)L(x,y)两者等值,10,一阶逻辑中命题符号化

5、(续),几点注意：1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不能随便颠倒 否定式的使用思考：没有不呼吸的人 不是所有的人都喜欢吃糖 不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？,11,2.2 一阶逻辑公式及解释,字母表合式公式(简称公式)个体变项的自由出现和约束出现解释永真式（逻辑有效式）矛盾式（永假式）可满足式,12,字母表,定义 字母表包含下述符号：(1)个体常项：a,b,c,ai,bi,ci,i 1(2)个体变项：x,y,z,xi,yi,zi,i 1(3)函数符号：f,g,h,fi,gi,hi,i 1(4)谓词符号：F,G,H,Fi,Gi,Hi,i 1(5)

6、量词符号：,(6)联结词符号：,(7)括号与逗号：(,),，,13,项,定义 项的定义如下：(1)个体常项和个体变项是项.(2)若(x1,x2,xn)是任意的n元函数，t1,t2,tn是任意的n个项，则(t1,t2,tn)是项.(3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项,14,原子公式,定义 设R(x1,x2,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,tn是任意的n个项，则称R(t1,t2,tn)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4)等均为原子公式,15,合式公式,定义 合式

7、公式（简称公式）定义如下：(1)原子公式是合式公式.(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3)若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB),(AB)也是合式公式(4)若A是合式公式，则xA,xA也是合式公式(5)只有有限次地应用(1)(4)形成的符号串是合 式公式.请举出几个合式公式的例子.,16,个体变项的自由出现与约束出现,定义 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域.在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如,在公式 x(F(x,y)G(x,z)中,A=(F(x,y)G(x,z)为x的辖域，x为指导变元,A

8、中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式:不含自由出现的个体变项的公式.,17,公式的解释与分类,给定公式 A=x(F(x)G(x)成真解释:个体域N,F(x):x2,G(x):x1 代入得A=x(x2x1)真命题成假解释:个体域N,F(x):x1,G(x):x2 代入得A=x(x1x2)假命题问:xF(x)xF(x)有成真解释吗？xF(x)xF(x)有成假解释吗？,18,解释,定义 解释I由下面4部分组成：(a)非空个体域DI(b)DI中一些特定元素 等(c)DI上一些特定函数 等(d)DI上一些特定谓词 等说明：被解释的公式A中的个体变项均取值于DI 若A中含个体常项a、函数f

9、、谓词F,就分别解释成、,19,解释(续),被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下都是命题，注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.,20,公式的分类,永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满足式：至少有一个成真赋值几点说明：永真式为可满足式，但反之不真谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判定的利用代换实例可判某些公式的类型,21,代换实例,定义 设A0是含命题变项p1,p2,pn的命题公式，A1,A2,An是n个谓词公式，用Ai处处代替A0中的pi(1in)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x),xF(x)yG(y)等都是

10、pq的换实例，x(F(x)G(x)等不是 pq 的代换实例.定理 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式.,22,代换实例(续),例1 给定解释I 如下:(a)个体域 D=N(b)(c)(d)谓词说明下列公式在 I 下的涵义,并讨论真值(1)xF(g(x,a),x),x(2x=x)假命题,(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x),xy(x+2=yy+2=x)假命题,23,例1(续),(3)xyzF(f(x,y),z),两点说明:5个小题都是闭式,在I下全是命题(3)与(5)说明，量词顺序不能随意改变,(5)xyzF(f(y,z),x),xyz(y+z=x)假命题,(4)xF(f(x,x),g(x,x),x(2x=x2)真命题,xyz(x+y=z)真命题,24,代换实例(续),例2 证明下面公式既不是永真式，也不是矛盾式(1)x(F(x)G(x)(2)x(F(x)G(x)(3)xy(F(x)G(y)H(x,y)不难对每一个公式给出一个成假解释和一个成真解释,从而证明它们既不是永真式，也不是矛盾式.,