2.4(随机变量函数的分布).ppt

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1、在实际中，有些随机变量往往不能直接观测到，而它却是某个能直接观测到的随机变量的函数，在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求它的函数Y=g(X)，（g(.)是已知的连续函数）的概率分布,2.4 随机变量函数的概率分布,第2章 随机变量及其分布,2.4.1 离散型随机变量函数的概率分布 设X是离散型随机变量，X的分布律为 X x1x2xn pip1p2pn 则Y=g(X)也是一个离散型随机变量，此时Y的分布律为 Y=g(X)g(x1)g(x2)g(xn)pip1p2pn 当中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,

2、【例】已知随机变量的分布律为 X 2 1012 pi0.20.10.10.30.3 求Y=X 2+X，Z=X 2+1的分布律 解：由X的分布律可得如下表格 pi0.20.10.10.30.3 X 2 1 0 1 2 X2+X 2 0 0 2 6 X2+1 5 2 1 2 5由此表格，得Y，Z的分布律分别为,2.4.1 离散型随机变量函数的分布,解：由X的分布律可得如下表格 pi 0.2 0.10.10.30.3 X 2 1 0 1 2 X2+X 2 0 0 2 6 X2+1 5 2 1 2 5由此表格，得Y，Z的分布律分别为,0.3,0.5,0.2,0.5,0.4,0.1,2.4.1 离散型随

3、机变量函数的分布,2.4.2 连续型随机变量函数的分布 求连续型随机变量的函数的概率密度主要有两种方法，即分布函数定义法和公式法1.分布函数定义法 设连续型随机变量X的概率密度为fX(x)，求X的函数Y=g(X)的概率密度fY(y)方法如下:(1)先求其分布函数：FY(y)=PY y=Pg(X)y(2)在上式两端对y求导，即可求出概率密度fY(y),2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例】设XN(0，1)，求Y=|X|的概率密度 解：1)当y 0时，是不可能事件，所以 2)当y 0时，则由1)与2)得到,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例】设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率

4、密度 解：分别记X，Y的分布函数为，先求Y的分布函数，由于故当时，；当y0 时有将 关于y求导数，得Y的概率密度为,，,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,用分布函数定义法,可以证明下述正态分布的重要性质:定理2.3 设，则(1)Y=aX+b N(a+b，(a)2)，其中a（0），b为常数；(2)证：(1)分别记Y的分布函数及概率密度为FY(y)和fY(y)，则由分布函数的定义知若a 0，则有,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,若a 0，则有将上面两式分别对y求导得故Y=aX+b N(a+b，(a)2),2.4.2 连续型随机变量函数的分布,通常称 为对X进行的标准化变换由定理2.3，若

5、，则X的分布函数可写成：这样，利用(x)的函数表就能求出一般正态分布变量落在任意区间中的概率了即有：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例】设XN(108，9),试求P102X 117 解：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,也可以这样计算：若,则由的函数表可以得到,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,2.公式法 上面介绍的分布函数法是求随机变量函数Y=g(X)的分布的主要方法，它适用范围广泛，对g(x)为单调函数与非单调函数均适用，能解决很多问题当g(x)为单调函数时，还可用公式法求Y=g(X)的分布,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,定理2.4 设随机变量X具有概率密度fX

6、(x)，0（或恒有g(x)0），则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为(2.12)其中，h(y)是g(x)的反函数，即x=h(y),2.4.2 连续型随机变量函数的分布,证：先证g(x)0的情形，此时g(x)在(，+)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(，)严格单调增加、可导 现在先求Y的分布函数FY(y)因为Y=g(x)在(，)取值，故 当时 当时 当时，,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,将 关于y求导数，即得Y的概率密度 对于g(x)0的情形，可以类似地证明综合以上两式，定理证毕,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,若在有限区间(a,b)外等于零,当时，且在(a，b)

7、上恒有g(x)0（或恒有g(x)0），则仍可按式(2.12)求得Y=g(X)概率密度.,说明：,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,【例】设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求Y=2lnX的概率密度 解：因为，即当 时单调下降，且有反函数 所以而 故,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,一天的利润(以千元计)U也是随机变量，求U的概率密度,解,【例】一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量，设X的概率密度为,分别记X,U的分布函数为,2.4.2 连续型随机变量函数的分布,第2步 由U 的分布函数 分布函数求U的概率密度(用 的概率密度表示之)；,第1步 求U 的分布函数(用 的分布函数表示之)；,第3步 代入 的概率密度的具体表达式.,【例】设随机变量X具有概率密度,(1)求随机变量,的概率密度,(2)设X的概率密度为,求,的概率密度.,解(1)分别记X和Y的分布函数为,第2步 由的分布函数 求的概率密度(用 的概率密度表示之);,求Y 的分布函数(用 的分布函数表示之);,第1步,所以得,(2)第3步 代入 的概率密度的具体表达式,作业：P56 习题 2.4 2.,