矩阵的相似变换和特征值几何与线性代数.ppt

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1、返回主界面,第五章 矩阵的相似变换和特征值,线性代数与空间解析几何电子教案网络版,说明:由于PowerPoint软件版本差异,在您 的电脑上浏览本电子课件可能有些 内容出现会出现异常.课件作者：张小向,5.1 方阵的特征值和特征向量,5.2 相似矩阵,5.3 实对称矩阵的相似对角化,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,一.特征值,特征向量的定义和计算,1.设A是n阶方阵,为数,为n维非零向量.若A=,则称为A的特征值,称为A 的对应于的特征向量.,2.由A=得齐次线性方程组(IA)=,它有非零解系数行列式|IA|=0,这个 关于的一元n次方程,称为A的特征方程,|I

2、A|称为A的特征多项式.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例1.求,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2,(2IA)x=即,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4,(4IA)x=即,例1.求,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2,2=4.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解:|IA|=(2)(1)2.所以A的特征值为1=2,2=3=1.对于1=2,求得(2IA)x=的基础

3、解系:p1=(0,0,1)T.对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).对于2=3=1,求得(IA)x=的基础解系:p2=(1,2,1)T.对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).,例2.求,的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,解:|IA|=(+1)(2)2.所以A的特征值为1=1,2=3=2.(IA)x=的基础解系:p1=(1,0,1)T.对应于1=1的特征向量为kp1(0kR).(2IA)x=的基础解系:p2=(0,1,1)T,p3=(1,0,4)T.对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零).,例3.求,

4、的特征值和特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,例4.设为方阵A的特征值,证明2为A2的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A2)x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x,所以2为A2的特征值.例5.设为方阵A的特征值,证明()=22 3+4.为(A)=2A2 3A+4I的特征值.证明:因为为A的特征值,即有非零向量x使Ax=x,于是(A)x=(2A2 3A+4I)x=2(A2)x3Ax+4x=22x3x+4x=(22 3+4)x=()x,所以f()为f(A)的特征值.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征

5、向量,二.特征值,特征向量的性质,定理5.1.设1,n(实数或复数,可以重复),是n阶方阵A=aij的n个特征值,即|IA|=(1)(2)(n).,则,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.1 方阵的特征值和特征向量,定理5.2.设是方阵A的一个特征值,f是一个,多项式,则f()是方阵f(A)的一个特征值.,推论.若f是多项式,A是一个方阵,使f(A)=O,(这时称f为A的一个零化多项式),则A 的任一特征值 必满足f()=0.,注:A的零化多项式的根未必都是A的特征值.,例如f(x)=x21,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,5.2 相似矩阵,一.相似矩阵的定义和性质,设A,B

6、都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得 P 1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为AB.P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.,易见,矩阵间的相似关系满足 反身性:AA;对称性:AB BA;传递性:AB,BC AC.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.,且A与B相似 A与B相抵.但反之未必.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,命题:设AB,f是一个多项式,则f(A)f(B).,证明:设P 1AP=B,f(x)=anxn+a1x+a0,则,P 1f(A)P,=anP 1AnP+A1p 1AP+a0 P 1IP,=an(P 1AP)n+a1P 1AP+a0I,=P 1(anAn+a1A+a0I)P

7、,=anBn+a1B+a0I,=f(B).,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,定理5.5.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特 征多项式和特征值.,事实上,设P 1AP=B,则|IA|=|P 1|IA|P|=|IB|.,注:特征多项式相同的矩阵未必相似.,例如,它们的特征多项式都是(1)2.,但是若有P 1AP=B,则A=PBP 1=B.,矛盾!,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,证明:(必要性)设P 1AP=diag1,2,n,则AP=Pdiag1,

8、2,n,即,P 的列向量依次为p1,p2,pn.,Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn,可见,p1,p2,pn就是A的n个线性无关 的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,于是P 1AP=diag1,2,n,p1,p2,pn,对应的特征值依次为1,2,n,(充分性)设A的n个线性无关的特征向量依次为,则Ap1,p2,pn=1p1,2p2,npn.,记P=p1,p2,pn,则上式可写成 AP=Pdiag1,2,n,二.方阵与对角矩阵相似的充要条件,定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A有n个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2

9、相似矩阵,推论a.n阶复方阵A与对角矩阵相似的充要条 件是A的每个ni重特征值i有ni个线性 无关的特征向量,即秩(iIA)=nni.,推论b.若n阶方阵A有n个不同的特征值,则A 与对角矩阵相似.,三.方阵的相似对角化,对于n阶方阵A,求可逆矩阵P,使P 1AP为 对角矩阵这件事称为矩阵A的相似对角化.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,求|IA|=0的根,A可以相似对角化,秩(iIA)=nni?,A不能相似对角化,例1 2 3,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,例6.A=,3 2 0,0 1 0,的特征多项式为,0 0 1,特征值=3,i中有两个是虚数,所以

10、A不与实对角矩阵相似.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.2 相似矩阵,(3IA)x=的基础解系:p1=5,3,1T,(iIA)x=的基础解系:p2=0,i,1T,(iIA)x=的基础解系:p3=0,i,1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,5.3 实对称矩阵的相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,1.复矩阵的共轭矩阵,设A=aijmn,aijC.,A的共轭矩阵.,可以验证,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,2.实对称矩阵,定理5.7.实对称矩阵的特征值均为实数.,从而,另一方面,两式相减得,向量x满足Ax=x,则,又因为

11、x非零,故,因此,可见为实数.,事实上,设复数为对称矩阵A的特征值,非零复,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,事实上,1 p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,定理5.8.设1,2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值,p1,p2是对应与它们的特 征向量,则p1与p2正交.,于是(12)p1Tp2=0,但是1 2,故p1Tp2=0.,从而1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,定理5.9.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正 交矩阵Q,使得 Q 1AQ=diag(1,2,n),其中

12、1,2,n为A的全部特征值,Q=q1,q2,qn的列向量组是A 的对应于1,2,n的标准正交特 征向量.,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,推论.设是n阶实对称矩阵A的r重特征值,则 对应于恰有r个线性无关的特征向量.,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例7.把,正交相似对角化.,解:|IA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2IA)x=的基础解系1=(0,1,1)T.(4IA)x=的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即 可得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似

13、对角化,注:对于2=3=4,若取(4IA)x=的基础解系 2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,例8.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,证明(1):由定理5.8可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个 线性无关的特征向量1,2对应于=1.,注意到1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应

14、于=1的特征向量.,由3,=3,1=3,2=0得k3=0,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,例8.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=1,2,2T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量 与3正交;(2)求A.,特征向量可取为x1+2x22x3=0的基础解系:,1=2,1,2T,2=2,2,1T,第五章 矩阵的相似变换和特征值,5.3 实对称矩阵的相似对角化,Q=,由此可得A=QQT,教学内容和基本要求,第五章 矩阵的相似变换和特征值,理解矩阵的特征值和特征向量的概念,熟练掌握矩阵的特征多项式,特征值,特征向量的求法;熟练掌握特征多项式,特征值,特征向量的性质;了解矩阵的迹的概念,了解矩阵的迹,行列式与其特征值的关系;理解矩阵的相似性概念,理解两矩阵相似的必要条件;熟练掌握矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件,并熟练掌握相应的对角矩阵及相似变换矩阵的求法;熟练掌握实对称矩阵的性质,熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵的方法.,