矩阵与多元正态分布.ppt
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1、多元统计分析的理论基础,一、矩阵二、多元正态分布,一、矩阵基础知识,矩阵形式和定义矩阵运算矩阵行列式逆矩阵特征值和特征向量,一、矩阵形式及定义,如果矩阵的行数等于列数即n=p,则该矩阵为方阵。如果矩阵仅有1列,则该矩阵为列向量.如果矩阵仅有1列,则该矩阵为行向量。,Np阶矩阵:,转置矩阵(Transpose of a Matrix):将矩阵的行和列交换。X、A、B的转置矩阵:例:给定一个矩阵A,矩阵A的转置矩阵是?,其他特殊矩阵形式和定义:,零矩阵:矩阵中所有元素为零。对角矩阵:除开主对角线上的元素外,其他元素皆为零的方阵。,对称矩阵矩阵的转置和它本身相等的方阵。或主对角线外的元素关于主对角线
2、对称。单位矩阵:主对角线上元素皆为1的对角矩阵。,逆矩阵:对于一个方阵A,若有方阵 B 使得 AB=BA=I。则方阵 B 则为方阵 A的逆矩阵(或称方阵A 则为方阵 B的逆矩阵)。矩阵的迹:方阵主对角线上元素之和。(注意:仅适用于方阵)例:给定一个矩阵A,求矩阵A的迹?tr(A)=a+b,二、矩阵运算,1、矩阵加法和减法 例:续例1:欲求每人、每科两次考试的总分数,即把两个矩阵的对应元素相加。,只有当两个矩阵同行数、同列数时,才能相加减。,2、矩阵乘法(1)数乘运算:续例1:求每人每科两次考试的平均成绩,(2)矩阵与矩阵相乘:,两个矩阵相乘,第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数,(3)矩阵
3、乘法的代数式 AB 不等于 BA.AB=0 并不意味着 A=0 or B=0若 A=0 or B=0 则 AB=0.,三、矩阵行列式和逆矩阵,矩阵行列式:矩阵 的行列式 为。其中,为除开第1行第j列元素后余下的矩阵行列式。,只有方阵才有行列式,例:例:,逆矩阵:对于一个方阵A,若有方阵 B 使得 AB=BA=I。则方阵 B 则为方阵 A的逆矩阵(或称方阵A 则为方阵 B的逆矩阵),如果方阵的行列式等于0,则该方阵无逆矩阵如果方阵的行列式等于0,则称该方阵为奇异矩阵;否则,为非奇异矩阵如果A的逆矩阵等于其转置矩阵,则称矩阵A正交,二阶逆矩阵运算:例:,三、特征值与特征向量,若A 为 n n 阶方
4、阵,I 为 n n 阶单位阵。若算式 成立,则将 称为方阵 A的特征值。方程 称为特征方程。如果 C 为非零向量,有AC=或 则 C 称为方阵A的特征值对应的特征向量,注意:方阵A的特征值之和等于方阵A的迹,只有方阵才有特征值,例:,先用7代替特征方程左端行列式中的,例:求出以下方阵的特征值和特征根,二、多元正态分布,(一)多元分布的基本概念1、随机向量:设x1、x2、xp为p个随机变量,由它们组成的向量X=(x1、x2、xp)称为随机向量。2、分布函数与密度函数:,多元分布函数及密度函数(见定义1.2;1.3),例:口袋中有2白球3黑球,有放回取两次,每次任取一球.设X为第一次得白球数,Y为
5、第二次得白球数。求(X,Y)的联合分布和边际分布。,3、多元变量的独立性多元变量的联合分布等于各自分布的乘积,称p个随机向量X1、X2Xp相互独立。由X1、X2Xp相互独立可以推出Xi、Xj独立(i,j不相等)。Xi、Xj独立(i,j不相等),不能推出X1、X2Xp相互独立,4、随机变量的数字特征(1)随机向量的均值(2)随机向量X的自协方差阵(3)随机向量X和Y的协方差阵(4)随机向量的X的相关阵,例:益寿宁的降血脂效果求均值向量和协方差阵、相关系数矩阵,相关系数矩阵?,例:在一项实验中,测得大豆的周龄x(以周计)和平均高度y(厘米)的数据如下:求两变量的协方差阵和相关系数阵。,(二)多元正
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