23 连续型随机变量及其概率密度.ppt

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1、有关要点回顾,2连续型随机变量 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,1离散型随机变量 随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.,.离散型随机变量的分布律为,1.,2.,（非负性）,（归一性）,其中,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式来描述其概率分布.,下面学习连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量的概念,三种重要的连续型随机变量,小结,2.3连续型随机变量及其概率密度,设离散型随机变量X在a,b内取

2、n个值:x1=a,x2,x3,x4,xn=b,X,即小矩形的面积为取对应点的概率,折线下面积之和！,连续型随机变量的概念,X的概率直方图：,(1)定义的引出,若X为连续型随机变量，由于X在a,b内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线,而且：,由此推出连续型随机变量的定义,设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x)，满足条件,1.,2.,对于任意的,3.,则称X是连续型随机变量，称为X的概率密度函数,简称概率密度.,(2)连续型随机变量的定义,概率密度函数的性质,1),2),这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件.,3)X落入区间a,b

3、内的概率,注意 对于任意可能值 a,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,由此可得,这是因为,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,()对 f(x)的进一步理解,密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,1,问题：f(a)是=a的概率吗？,事实上，若不计高阶无穷小，有：,它表示随机变量 X 取值于 的概率近

4、似等于.,PX=a=0,而 X=a 并非不可能事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出 B=,问题：概率为零的事件一定是不可能事件吗？,类似可知，,解,例1,得,2.三种重要的连续型随机变量,()均匀分布,均匀分布的意义,事实上，若X U(a,b)，则对于满足,的c,d,总有,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。,如公交系统中乘客随机乘车的等车时间,解 设X表示他等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且X的概率密度为,例2（

5、等待时间）公共汽车每10分钟按时通过一车站，一乘客随机到达车站.求他等车时间不超过3分钟的概率.,所求概率为,解,由题意,R 的概率密度为,故有,例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在950 1050 的概率,例4 设随机变量 X 在 2,5 上服从均匀分布,现对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3 的概率.,X 的分布密度函数为,设 A 表示“对 X 的观测值大于 3”,Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数.,解,则,因而有,(2)指数分布,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,证明,而,于是,指数分布的无记忆性是使其具有广泛

6、应用的重要原因！,指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时间.有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似,当电子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间.指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.一般地,当随机质点流中在长 t 的时间内出现的质点数服从参数为t 的泊松分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指数分布.,例5 某种电子元件的寿命(以小时计)X 服从指数分布,其概率密度为(1)求元件寿命至少为200小时的概率.(2)将3只这种元件联接成

7、为一个系统，设系统工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概率.,解(1)元件寿命至少为200小时的概率为,(2)以Y记3只元件中寿命小于200小时的元件的只数.由于各元件的工作相互独立，又由(1)知一元件的寿命小于200小时的概率为1-e-2,故有,2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为,故系统的寿命至少为200小时的概率为,(3)正态分布(或高斯分布),高斯资料,正态概率密度函数的几何特征,正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从

8、正态分布.,正态分布的应用与背景,正态分布的概率计算等有关问题在第章讲解,三、小结,常见连续型随机变量的分布,课堂思考 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:3

9、0等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,区间(0,1)上的均匀分布U(0,1)在计算机模拟中起着重要的作用.,实用中，用计算机程序可以在短时间内产生大量服从(0,1)上均匀分布的随机数.它是由一种迭代过程产生的.,严格地说，计算机中产生的U(0,1)随机数并非完全随机，但很接近随机，故常称为伪随机数.,知识拓展,如取n足够大，独立产生n个U(0,1)随机数，则从用这 n 个数字画出的频率直方图就可看出，它很接近于(0,1)上的均匀分布U(0,1).,作业 P68:8、11,Born:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany),Carl Friedrich Gauss,高斯资料,