矢量分析与场论.ppt

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1、第1章 矢量分析与场论,1.1 矢量及其代数运算 1.2 直角、圆柱、球坐标系 1.3 矢量场 1.4 标量场 1.5 亥姆霍兹定理,2)矢量(Vector)一个有大小和方向的物理量电场、磁场、力、速度等表达式：它的大小称为模，记为 A模为 1 的矢量称为单位矢量，记为；模为0的矢量称为零矢量，记为。矢量场加法：减法：,1.1 矢量及其代数运算,1)标量(Scalar)一个仅用大小就能够完整描述的物理量电压、温度、时间、质量等所有实数标量场加法:C=A+B减法:D=A-B,矢量积(Vector Product)定义：任意两个矢量 与 的矢量积是一个矢量 其大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦

2、之乘积 其方向垂直于矢量 与 组成的平面 又称为：叉积图示：表示：（右手螺旋）性质：互相平行 服从分配律,标量积(Scalar Product)定义：任意两个矢量 与 的标量积是一个标量 它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 又称为：点积图示：表示：性质：互相垂直 0 互相平行 AB 服从交换律和分配律,矢量的乘积,右手螺旋定则补充,右手螺旋定则(right-handedscrewrule)表示右手螺旋柄的旋转方向与螺旋前进方向之间相互关系的法则。由两个矢量的矢积（亦称叉乘或叉积）得出的第三个矢量的方向可由此定则确定。若，把由经 小于180的角度转向 的方向取为右手螺旋柄的旋转方向，则螺

3、旋前进的方向即为 的方向。显然 垂直于由、构成的平面。在初等物理学中，常以弯曲的四指代表线圈或螺线管的电流方向，直伸的拇指代表磁场方向；以直伸的拇指代表电流方向，弯曲的四指代表磁力线即磁场方向。,矢量在三维正交坐标系中的表示及性质,单位矢量：三个分量：表达式：性质：,重点,矢量在直角坐标系的代数运算,加法和减法标量积矢量积,1.2 直角、圆柱、球坐标系,直角坐标系,圆柱坐标系,球坐标系,位置矢量,直角坐标系,三个变量(X,Y,Z)来表示 单位矢量：投影数值：X、Y、Z位置矢量 表示：xy、yz、xz三个坐标面互相垂直,图1-1 点P的投影坐标面(P1),三个变量(,z)来表示 x=cos y=

4、sin z=z,三个变量(,z)来表示 x=cos y=sin z=z,三个变量(,z)来表示 x=cos y=sin z=z单位矢量：位置矢量 表示：,三个变量(,z)来表示 x=cos y=sin z=z,圆柱坐标系,圆柱坐标与直角坐标,图1-4 点P的投影坐标面(P4),正交关系,三个互相垂直的坐标面坐标面：(0)坐标面：(02)坐标面 z：z=常数(),圆柱坐标系,图1-5 三个互相垂直的坐标面(P4）,圆柱坐标系,表达式矩阵形式,单位矢量的变换,图1-6 单位矢量的变换(P5）,求逆,球坐标系,三个变量(r,)来表示 单位矢量:位置矢量，又称为矢径，可表示为：,球坐标与直角坐标,图1

5、-7 点P的投影坐标面（P6）,正交关系,三个互相垂直的坐标面坐标面 r：(0r)坐标面：(0)坐标面：(02),球坐标系,图1-8 三个互相垂直的坐标面（P6）,球坐标系,求逆,图1-9 单位矢量的变换（P6）,【例1-1】将圆柱坐标系中的矢量表达式 转换为直角坐标系的表达形式。,解题思路：,重点,圆柱坐标系任意一点P沿、和z方向的长度增量分别为：它们与沿各自坐标增量之比（拉梅常数）分别为：三个坐标面的面元矢量分别为：体积元为,作业1 重点思考题,球坐标系任意一点P沿r、和方向的长度增量分别为：它们与沿各自坐标增量之比（拉梅常数）分别为：三个坐标面的面元矢量分别为：体积元为,1、课本P18的习题1.2；2、复习矢量的矩阵表达及矩阵的求逆运算；复习行列式的计算3、自做一遍课本P7的例1-1,作业2-练习本,线性代数,